高等数学(微积分)课件--§85高阶偏导数-课件PPT（演讲稿）.ppt

1§§??一、多元函数的极值与最值一、多元函数的极值与最值??二、条件极值二、条件极值??三、最小二乘法三、最小二乘法**2二元函数极值的定义二元函数极值的定义??设函数设函数zz==ff((xx,,yy))在点在点((xx00,,yy00))的某邻域内有定义,的某邻域内有定义,对于该邻域内异于对于该邻域内异于((xx00,,yy00))的点的点((xx,,yy) ) ::若满足不若满足不等式等式ff((xx,,yy)<)<ff((xx00,,yy00),),则称函数在则称函数在((xx00,,yy00))有极大值有极大值;;若满足不等式若满足不等式ff((xx,,yy)>)>ff((xx00,,yy00) ,) ,则称函数在则称函数在((xx00,,yy00))有极小值。有极小值。??极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值..??使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点3二元函数极值示例二元函数极值示例??)0,0(4322yxz??(1)??)0,0(22yxz???(2)??)0,0(xyz?(3)4多元函数取极值的必要条件多元函数取极值的必要条件??定理定理((必要条件必要条件): ): 设函数设函数zz==ff((xx,,yy))在点在点((xx00,,yy00) ) 偏导偏导数都存在数都存在,,若其在点若其在点((xx00,,yy00))处有极值处有极值,,则它在该点则它在该点的偏导数必然为零:的偏导数必然为零:0),(00'?yxfx0),(00'?yxfy不妨设),(yxfz?在点),(00yx处有极大值,则对于),(00yx的某邻域内任意?),(yx),(00yx都有?),(yxf),(00yxf,??证证::故当0yy?,0xx?时,有?),(0yxf),(00yxf,说明一元函数),(0yxf在0xx?处有极大值,必有0),(00?yxfx;类似地可证0),(00?yxfy.??证证::同样地同样地,,多元函数都有类似性质。多元函数都有类似性质。5驻点与极值点驻点与极值点??仿照一元函数,凡能使一阶偏导数仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时同时为零的为零的点,均称为函数的驻点点,均称为函数的驻点..例如, 点)0,0(是函数xyz?的驻点,:如何判定一个驻点是否为极值点?注意:6多元函数取极值的充分条件多元函数取极值的充分条件??定理定理((充分条件充分条件): ): 设函数设函数zz==ff((xx,,yy))在点在点((xx00,,yy00))的某的某邻域内连续、存在二阶连续偏导数邻域内连续、存在二阶连续偏导数,,且且0),(00'?yxfx0),(00'?yxfy记记Ayxfxx?),(00"Byxfxy?),(00"Cyxfyy?),(00"则则ff((xx,,yy))在点在点((xx00,,yy00))处取得极值的条件如下:处取得极值的条件如下:(1)02????ACB时具有极值时具有极值, , 02????ACB(3)02????ACB当当A<0A<0时有极大值时有极大值,,当当A>0A>0时有极小值时有极小值;;(2)时没有极值时没有极值;;不能确定不能确定,,还需另作讨论。还需另作讨论。7多元函数求极值的一般步骤多元函数求极值的一般步骤??第一步:解方程组第一步:解方程组,0),('?yxfx0),('?yxfy求出实数解求出实数解,,得驻点得驻点;;??第二步:计算二阶偏导第二步:计算二阶偏导),("yxfyxxxx???),("yxfyxyxy???),("yxfyyyyy?????第三步:对每个驻点第三步:对每个驻点,,分别计算分别计算AA、、BB、、CC;;??第四步:对每个驻点第四步:对每个驻点,,确定确定??==BB22--的符号的符号,,再判断是否有极值。再判断是否有极值。8例题与讲解例题与讲解??例例: : 求函数求函数zz=(2=(2axax--xx22)(2)(2byby--yy22))的极值的极值,,其中其中aa,,bb为为非零常数。非零常数。??解:由极值必要条件:解:由极值必要条件:0)2)((22?????ybyxazx0))(2(22?????ybxaxzy可解得驻点:可解得驻点:((aa,,bb),(0,0),(0,2),(0,0),(0,2bb),(2),(2aa,0),(2,0),(2aa,2,2bb))因为:因为:),2(22ybyzxx?????),)((4ybxazxy?????)2(22xaxzyy?????对驻点对驻点((aa,,bb),),有有04,02