一元二次函数的图象定义:一般地,如果是常数,,,x是自变量,a,b,c分别是函数表示式的二次项系数、一次项系数和常数项。二、一元二次函数y=ax²+bx+c﹙a≠0﹚的图象(其中a,b,c均为常数)当a>0时函数图象开口向上;对称轴为x=﹣2a/b,有最小值且为﹙4ac-b²﹚/4a;当x∈﹙﹣∞,﹣2a/b]时递减;当x∈[﹣2a/b,﹢∞﹚时递增;当a<0时函数图象开口向下;对称轴为x=﹣2a/b,有最大值且为﹙4ac-b²﹚/4a;当x∈﹙﹣∞,﹣2a/b]时递增;当x∈[﹣2a/b,﹢∞﹚时递减; △=b²-4ac当△>0时,函数图象与x轴有两个交点;当△=0时,函数图象与x轴只有一个交点;当△<0时,函数图象与x轴没有交点。(如下图所示)三、抛物线中,的作用决定开口方向及开口大小,:画出的图象归纳:一般地,抛物线的对称轴是y轴,顶点是原点,当时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小;当时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,a越大,抛物线的开口越大。(2)和共同决定抛物线对称轴的位置例2:画出二次函数,的图象,考虑她们的开口方向、对称轴和顶点。能够看出,抛物线的开口向下,对称轴是进过点(-1,0)且与x轴垂直的直线,记为x=-1,顶点是(-1,0);抛物线的开口向下,对称轴是x=1,顶点是(1,0)。例3:画出函数的图象,指出它的开口方向、对称轴及顶点。抛物线经过怎样的变换能够得到抛物线?抛物线的开口方向向下、对称轴是x=-1,顶点是(-1,-1)。把抛物线向下平移1个单位,再向左平移2个单位,就得到抛物线。归纳:一般地,抛物线与形状相同,位置不同。把抛物线向上(下)向左(右)平移,能够得到抛物线。平移的方向、距离要根据h,k的值来决定。抛物线有如下特点:当时,抛物线的开口向上;当时,抛物线的开口向下;对称轴是直线x=h;顶点坐标是(h,k)例4:画出的图象归纳:一般地,能够用配方法求抛物线的顶点与对称轴因此,抛物线的对称轴是,,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):,抛物线经过原点;,与轴交于正半轴;,,,则.(2)a,b同号,对称轴在y轴左侧,反之,再y轴右侧|x1-x2|=,与y轴交点为(0,c)b2-4ac>0,ax2+bx+c=0有两个不相等的实根b2-4ac<0,ax2+bx+c=0无实根b2-4ac=0,ax2+bx+c=0有两个相等的实根四、根的分布,根据函数图象来判断其所需要满足的条件若x<y<m﹙m为x轴上的一点﹚,则需满足:┏△>0┣﹣2a/b<m┗f(m)>0若m<x<y﹙m为x轴上的一点﹚,则需满足:┏△>0┣﹣2a/b>m┗f(m)>0若x<m<y﹙m为x轴上的一点﹚,则需满足:若x,y∈﹙m,n﹚﹙m,n为x轴上的一点﹚,则需满足:┏△>0┣m<﹣2a/b<n┗f(m)>0,f(n)>0若m<x<n<y<p﹙m,n,p为x轴上的一点﹚,则需满足:┏f(m)>0┣f(n)<0┗f(p)>0若只有一根在﹙m,n﹚之间﹙m,n为x轴上的一点﹚,则需满足:┏△=0┗m<﹣2a/b<n或f(m)·f(n﹚<0┏f(m)=0或┗m<﹣2a/b<﹙n+m﹚/2┏f(n)=0或┗﹙n+m﹚/2<﹣2a/b<n五、二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①;②;③;④;⑤.图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0,0)(轴)(0,)(,0)(,)()六、二次函数图像的变换规律:抛物线y=a(x-h)2+k的图像,能够由y=ax2得图像移动而得到。y=ax2(a>0)=-ax2(a>0)的图像当h<0时,向左平移个单位长度,当h>0时,向右平移个单位长度y=a(x-h)2的图像当k>0时,向上平移个单位长度当k<0时,向下平移个单位长度y=a(x-h)2-k的图像写成一般形式y=ax2+bx+c的图像规律:在原有函数基础上“h值正右移,负左移,k值正上移,负下移”七、直线与抛物线的交点(或称二次函数与一次函数关系)轴与抛物线得交点为()与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、,:有两个交点抛物线与轴相交;有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;(3)一样可能有0个交点、1个交点、,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是的两
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