数模--人口增长.doc

数学模型--第一次大作业姓名学号:摘要首先经过西安市统计信息网找到了西安市往年总人口数的数据,采用从1985年到的数据作为本文解题的主要数据。接着,准备采用指数增长模型(马尔萨斯人口模型),考虑到由于该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长。而事实上,随着人口的增加,自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。如果当人口较少时人口的自然增长率能够看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随着人口的增加而减少,于是可能需要对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改。因此准备在采用指数增长模型得到结果后,再采用阻滞增长模型(logistic模型)进行预测,该模型是在修改模型中较著名的一个。然后,分别采用了指数增长模型(马尔萨斯人口模型)和阻滞增长模型(logistic模型)对在——期间西安市人口数量进行预测。最后,经过分别对两种模型进行检验,差别不是很突出,两种模型的结果与实际都较吻合。但发现用阻滞增长模型预测所得到的结果没有用指数增长模型预测得到的结果准确。因此最终取两个模型的平均值。1问题分析本题是一道人口预测问题,要求经过自己查找数据得到西安市往年的人口数据,并经过这些数据预测末的西安市人口数量。首先,数据的搜集与处理。要预测人口数量,则必须知道所要预测的区域往年的人口数量,至少需要知道5年以上的数据,而且一定要保证所搜集到的数据的准确性,因此搜索数据的途径一定要具有权威性。搜集数据时能够广泛的摘取与人口预测相关的数据,然后再根据建立模型的不同进行取舍和处理。然后,模型建立。求解人口预测的模型有很多种,例如指数增长模型(马尔萨斯人口模型)、阻滞增长模型(logistic模型)、灰色模型等,可是只需选择一到两种具有代表性的模型进行求解即可。本文分别采用指数增长模型(马尔萨斯人口模型)和阻滞增长模型(logistic模型)进行预测。最后,经过比较了两种模型所得结果以得出最终的预测结果。2模型假设1)假设模型求解过程中所需的数据都为准确的;2)假设模型需要自己假设的自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量合理;3)假设模型需要自己假设的人口增长率合理;4)在预测时间内,不发生大的疫情,战争等引起人口重大变化的事件;5)本文中所指的人数都为总人口,即都为西安市总人口;6)生育模式在预测时间内保持不变。3符号说明人口增长率(常数)时刻时的人口数(百万)时刻t时刻的人口数(百万)无穷大自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量(百万)固有增长率人口增长率为人口的函数4模型建立本文中用到的两种模型分别为指数增长模型(马尔萨斯人口模型)和阻滞增长模型(logistic模型),其中指数增长模型是由英国人口学家马尔萨斯(Malthus,1766—1834)于1798年提出的,该模型是众多人口模型中最基本的模型之一,可是考虑到由于指数增长模型的结果说明人口将以指数规律无限增长。而事实上,随着人口的增加,自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。如果当人口较少时人口的自然增长率能够看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随着人口的增加而减少,于是可能需要对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改。本文则又进一步采用了在修改的模型中较著名的阻滞增长模型。(马尔萨斯人口模型)(1)假设:人口增长率是常数(或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比)(2)建立模型:记时刻时人口数为,时刻的人口数为,由于量大可视为连续、可微函数。到时间段内人口的增量为于是满足微分方程(3)模型求解:解微分方程,得(1)(logistic模型)(1)假设:(a)人口增长率为人口的函数(减函数),最简单的可假设,,>0(线性函数),叫做固有增长率。(b)自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量为。(2)建立模型:当时,增长率应为0,即,于是,代入,得将上式代入得(3)模型的求解:解方程,得(2)5模型求解与检验经过对西安市统计信息网上的数据进行分析,统计并制作出如下表所示的1985年到西安市总人口数(还包括女性人口数以及人口密度)一览表。1985——西安市总人口数一览表单位:人年份总人口女性人口数人口密度(人/平方公里)198555311322683953554198656396732732976565198757445882781213575198858584792836814587198959735882894424598199060889012952879610199161547772981337617199262319783019204624199363091453052996632199463945443091700641199564820793134575645