对数知识点整理.doc

对数知识点整理1对数的概念如果a(a>0,且a?1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作:logaN=b,其中a叫做对数的底数,:?负数和零没有对数;?a>0且a?1,N>0;?loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=,以10为底的对数叫常用对数,记作log10N,简记为lgN;以无理数e(e=…)为底的对数叫做自然对数,记作logeN,=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)3对数的运算性质如果a>0,a?1,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN.(2)logaMN=logaM-logaN.(3)logaMn=nlogaM(n?R).问:?公式中为什么要加条件a>0,a?1,M>0,N>0??logaan=?(n?R)?对数式与指数式的比较.(学生填表)式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数b—N—a—对数的底数b—N—运算性质am?an=am+nam?an=(am)n=(a>0且a?1,n?R)logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaMn=(n?R)(a>0,a?1,M>0,N>0)难点疑点突破对数定义中,为什么要规定a,0,,且a?1?理由如下:?若a,0,则N的某些值不存在,例如log-28?若a=0,则N?0时b不存在;N=0时b不惟一,可以为任何正数?若a=1时,则N?1时b不存在;N=1时b也不惟一,可以为任何正数为了避免上述各种情况,所以规定对数式的底是一个不等于1的正数解题方法技巧1(1)将下列指数式写成对数式:?54=625;?2-6=164;?3x=27;?13m=573.(2)将下列对数式写成指数式:?log1216=-4;?log2128=7;?log327=x;?=-2;?ln10=;?lgπ=:ab=NlogaN=(1)?log5625=4.?log2164=-6.?log327=x.?=,必须并且只需紧紧抓住对数的定义:ab=NlogaN=b.(2)?12-4=16.?27=128.?3x=27.?10-2=.?=10.?10k=:(1)log8x=-23;(2)log2(log5x)=0;(3)logx27=31+log32;(4)logx(2+3)=-(1)对数式化指数式,得:x=8-23=?(2)log5x=20==?(3)31+log32=3×3log32=?27=x?(4)2+3=x-1==?解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.(2)log5x=20=1,x=51=5.(3)logx27=3×3log32=3×2=6,?x6=27=33=(3)6,故x=3.(4)2+3=x-1=1x,?x=12+3=2-?转化的思想是一个重要的数学思想,对数式与指数式有着密切的关系,在解决有关问题时,经常进行着两种形式的相互转化.?熟练应用公式:loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan==4,logay=5,求A=〔x?3x-1y2〕,已知对数式的值,要求指数式的值,可将对数式转化为指数式,再利用指数式的运算求值;思路二,对指数式的两边取同底的对数,再利用对数式的运算求值解答解法一?logax=4,logay=5,?x=a4,y=a5,?A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53?a-53=a0==loga(x512y-13)=512logax-13logay=512×4-13×5=0,?A=,因此以指数形式出现的式子,可利用取对数的方法,,y均为正数,且x?y1+lgx=1(x?110),求lg(xy)、y,对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应,故y是x的函数,从而lg(xy)(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题,怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答?x>0,y>0,x?y1+lgx=1,两边取对数得:lgx+(1+lgx)lgy==-lgx1+lgx(x?110,lgx?-1).令lgx=t,则lgy=-t1+t(t?-1).?lg(xy)=l