高中数列解法.docx

,分析数列通项公式的特征联想相应的求和方法既是根本,{Sn}的通项公式,它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧,对学生的知识和思维有很高的要求, 数列的综合应用典例精析题型一函数与数列的综合问题【例1】已知f(x)=logax(a>0且a≠1),设f(a1),f(a2),…,f(an)(n∈N*)是首项为4,公差为2的等差数列.(1)设a是常数,求证:{an}成等比数列;(2)若bn=anf(an),{bn}的前n项和是Sn,当a=2时,求Sn.【解析】(1)f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,即logaan=2n+2,所以an=a2n+2,所以anan-1=a2n+2a2n=a2(n≥2)为定值,所以{an}为等比数列.(2)bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2,当a=2时,bn=(2n+2)•(2)2n+2=(n+1)•2n+2,Sn=2•23+3•24+4•25+…+(n+1)•2n+2,2Sn=2•24+3•25+…+n•2n+2+(n+1)•2n+3,两式相减得-Sn=2•23+24+25+…+2n+2-(n+1)•2n+3=16+24(1-2n-1)1-2-(n+1)•2n+3,所以Sn=n•2n+3.【点拨】本例是数列与函数综合的基本题型之一,特征是以函数为载体构建数列的递推关系,通过由函数的解析式获知数列的通项公式,从而问题得到求解.【变式训练1】设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和是( )++2n+++1n【解析】由f′(x)=mxm-1+a=2x+1得m=2,a=(x)=x2+x,则1f(n)=1n(n+1)=1n-1n+=1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+【例2】某县位于沙漠地带,人与自然长期进行着顽强的斗争,到2009年底全县的绿化率已达30%,从2010年开始,每年将出现这样的局面:原有沙漠面积的16%将被绿化,与此同时,由于各种原因,原有绿化面积的4%又被沙化.(1)设全县面积为1,2009年底绿化面积为a1=310,经过n年绿化面积为an+1,求证:an+1=45an+425;(2)至少需要多少年(取整数)的努力,才能使全县的绿化率达到60%?【解析】(1)证明:由已知可得an确定后,an+1可表示为an+1=an(1-4%)+(1-an)16%,即an+1=80%an+16%=45an+425.(2)由an+1=45an+425有,an+1-45=45(an-45),又a1-45=-12≠0,所以an+1-45=-12•(45)n,即an+1=45-12•(45)n,若an+1≥35,则有45-12•(45)n≥35,即(45)n-1≤12,(n-1)lg45≤-lg2,(n-1)(2lg2-lg5)≤-lg2,即(n-1)(3lg2-1)≤-lg2,所以n≥1+lg21-3lg2>4,n∈N*,所以n取最小整数为5,故至少需要经过5年的努力,才能使全县的绿化率达到6