天一专升本高数知识点.docx

第一讲函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像,尤其是图像包含了函数的所有信息。2、函数的性质,奇偶性、有界性奇函数:,图像关于原点对称。偶函数:,图像关于y轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设是自变量同一变化过程中的两个无穷小量,则(1)若,则是比高阶的无穷小量。(2)若(不为0),则与是同阶无穷小量特别地,若,则与是等价无穷小量(3)若,则与是低阶无穷小量记忆方法:看谁趋向于0的速度快,谁就趋向于0的本领高。4、两个重要极限(1)使用方法:拼凑,一定保证拼凑sin后面和分母保持一致(2)使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数,不满足条件得拼凑。5、的最高次幂是n,的最高次幂是m.,只比较最高次幂,谁的次幂高,谁的头大,趋向于无穷大的速度快。,以相同的比例趋向于无穷大;,分母以更快的速度趋向于无穷大;,分子以更快的速度趋向于无穷大。7、左右极限左极限:右极限:注:此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。8、连续、间断连续的定义:或间断:使得连续定义无法成立的三种情况记忆方法:1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在,但不相等9、间断点类型(1)、第二类间断点:、至少有一个不存在(2)、第一类间断点:、都存在注:在应用时,先判断是不是“第二类间断点”,左右只要有一个不存在,就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点;左右相等是“可去”,左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质最值定理:如果在上连续,则在上必有最大值最小值。零点定理:如果在上连续,且,则在内至少存在一点,使得第三讲中值定理及导数的应用罗尔定理如果函数满足:(1)在闭区间上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3),则在(a,b)内至少存在一点,使得b记忆方法:脑海里记着一幅图:拉格朗日定理如果满足(1)在闭区间上连续(2)在开区间(a,b)内可导;则在(a,b)内至少存在一点,使得脑海里记着一幅图:(*)推论1:如果函数在闭区间上连续,在开区间(a,b)内可导,且,那么在内=C恒为常数。记忆方法:只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。(*)推论2:如果在上连续,在开区间内可导,且,那么记忆方法:两条曲线在每一点切线斜率都相等驻点满足的点,称为函数的驻点。几何意义:切线斜率为0的点,过此点切线为水平线4、极值的概念设在点的某邻域内有定义,如果对于该邻域内的任一点x,有,则称为函数的极大值,称为极大值点。设在点的某邻域内有定义,如果对于该邻域内的任一点x,有,则称为函数的极小值,称为极小值点。记忆方法:在图像上,波峰的顶点为极大值,波谷的谷底为极小值。拐点的概念连续曲线上,凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点,称为曲线的拐点。注在原点即是拐点单调性的判定定理设在内可导,如果,则在内单调增加;如果,则在内单调减少。记忆方法:在图像上凡是和右手向上趋势吻合的,是单调增加,;在图像上凡是和左手向上趋势吻合的,是单调减少,;取得极值的必要条件可导函数在点处取得极值的必要条件是取得极值的充分条件第一充分条件:设在点的某空心邻域内可导,且在处连续,则如果时,;,那么在处取得极大值;如果时,;,那么在处取得极小值;如果在点的两侧,同号,那么在处没有取得极值;记忆方法:在脑海里只需记三副图,波峰的顶点为极大值,波谷的谷底为极小值。第二充分条件:设函数在点的某邻域内具有一