3泰勒级数罗朗级数.doc

,必然存在一个以展开中心为圆心圆,在圆内级数收敛,而在圆外级数发散。这个圆称为该幂级数收敛圆,圆半径R称为收敛半径。(在收敛圆周上各点幂级数是否收敛,则需要具体情况具体剖析。)收敛半径(比值判别法与根值判别法):,:幂级数在以b为圆心、任何一个略小于收敛圆闭圆(略小于收敛圆半径)内一致收敛。:幂级数与函数在其收敛圆内剖析。因此幂级数在其收敛圆内可以逐项求导至任意阶,同时不改变收敛半径。幂级数系数与其与函数n阶导数之间有如下关系:§【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P50-55】(一)泰勒定理:设函数在以为圆心、为半径圆内剖析,则对于圆内任一点z,函数f(z)能展开成以为中心幂级数:,,且展开式为唯一。证明:设为圆内任意一点,作一个圆周(如图):,使点含于内,并且在圆周上剖析。由柯西积分公式得:【注意:】而(推广柯西积分公式),其中。唯一性:设另有,两边对求阶导数:。(二):,而不一定要用来求。例如利用初等函数泰勒级数展开(特别是,,三角函数等泰勒级数展开):例1:求在泰勒展式。解:在复平面上剖析,在时泰勒系数为,于是有。例2:求在泰勒展开式。解:,【】。例3:求在泰勒展开式。解:令,则。例4:求在泰勒展开式。解:,由于在内一致收敛于,,。例5:求在泰勒展开式。解:,当时,,在时,级数收敛且,所以如果规定时,,就有。§【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P55-61】泰勒定理告诉我们:如果函数在圆内剖析,在圆内必可展开成幂级数。如果函数在内有奇点时,能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数形式?罗朗定理告诉我们,如果函数在内有奇点,一般不能展开成幂级数形式,但有可能能够展开成罗朗级数形式。(一):在前面讲幂级数中,幂次均为正,若一个级数既包括正幂项也包含负幂项,即有形式:,则称为其为以为中心罗朗级数。幂级数在剖析,而对于罗朗级数,是它奇点。:正幂部分:,罗朗级数正则或剖析部分,负幂部分:,称为罗朗级数主要部分。对于正幂部分,设它收敛圆为,在内,正幂部分是一个剖析函数。对于负幂部分,可作变换则负幂部分变为幂级数:。设它收敛圆为。当时,负幂部分是收敛,且为区域内剖析函数。当时,由于,不能同时成立,故正幂部分与负幂部分不存在公共收敛区域,从而罗朗级数不存在收敛区域,罗朗级数发散。当时,正幂部分与负幂部分有公共收敛区域:,罗朗级数是收敛,其与为该圆环内一剖析函数。根据上面讨论,我们得到一个重要结论:罗朗级数如果收敛话,其收敛区域必为以展开中心为圆心一个圆环型区域:.圆环外半径由级数正幂部分决定,内半径由级数负幂部分决定:,。解:正幂部分收敛区域为以为圆心圆,其半径为:。负幂部分收敛区域为以为圆心圆外部区域,圆心半径为:.正幂部分与负幂部分公共收敛区域为圆环:.(二)圆环内剖析函数罗朗级数展开罗朗定理:在圆环内剖析函数必可展开成以为中心罗朗级数:,其中称为罗朗系数,,,是圆环内任一以为圆心圆周,。(定理证明从略,不讲)zCR2CR1R1R2z0C几点说明:(1)在罗朗展开式中,;(2)罗朗级数中,展开中心可能是奇点,也可能不是奇点;(3)泰勒级数展开可以看作是罗朗级数展开特例。如果函数在大圆整个内部都是剖析,根据柯西定理,罗朗级数负幂部分展开系数必为零(即,罗朗级数回到泰勒级数。(4)如果函数只是在圆环内剖析,在小圆内存在奇点,则函数只能作罗朗级数展开。罗朗展开唯一性:如果函数能够在圆环内展开成罗朗级数,则展开式是唯一。罗朗展开唯一性使我们不一定要用积分来求系数。常用罗朗展开方法仍是利用已知级数,不过要注意展开形式与收敛区域。罗朗定理证明(略,不讲):设为内任意取定一点,总可以找到含于内两个圆周()与(),使含于圆环内。因在闭圆环上剖析,由柯西积分公式,得:对于第一个积分,由泰勒展开定理证明可知,[利用],,对于第二个积分,我们考虑:,当时,,上式可展开成一致收敛级数,,两边沿逐项积分,并乘以,得,。由复连通区域柯西定理,可得:,,为圆环内任一以为圆心圆周。,。唯一性:设在圆环内又可展成下式:则它在圆环内一致收敛,从而在圆周:上一致收敛,乘以上有界函数仍然一致收敛,可以逐项积分:,而(前面例题),从而:,。罗朗展开唯一性使我们可以用任何方便方法来求罗朗级数展开系数。最常见方法是利用简单初等函数泰勒级数或罗朗级数展开来较复杂函数罗朗级数展开式,如利用,,三角函数等泰勒或罗朗级数展开式:例1:求函数