..页眉.. 页脚.. 构造等腰三角形证题吴复等腰三角形是一个特殊的三角形, 具有较多的特殊性质, 有时几何图形中不存在等腰三角形, 可根据已知条件和图形特征, 适当添加辅助线, 使之构成等腰三角形, 然后利用其定义和有关性质,快捷地证出结论。一. 直接连线法例 1. 已知,在五边形 ABCDE 中, AB=AE , BC=ED ,∠ B= ∠E。求证: ∠ C= ∠D。图1 证明:连结 AC 、 AD 因为 AB=AE ,∠ B= ∠E, BC=ED 所以△ ABC ≌△ AED 所以∠ 1= ∠2, AC=AD 所以∠ 3= ∠4即∠ 1+ ∠ 3= ∠ 2+ ∠4 所以∠ C= ∠D 例 2. 已知, DE 为△ ABC 的 BC 边上的中垂线,交 AC 于D ,垂足为 E。求证: AB<AC 。图2 证明:连结 BD 。因为 BE=CE , DE ⊥ BC 所以 DB=DC 因为 AB<AD+DB 所以 AB<AD+DC 即 AB<AC 二. 线段延长法例 3. 已知△ ABC 中, ∠ A=Rt ∠, AB=AC , BE 平分∠ ABC ,且 BE ⊥ CE 于E。..页眉.. 页脚.. 求证: BD 2 1 CE ?。图3 证明:分别延长 BA 、 CE 交于 F。因为 BE ⊥ CF ,∠ 1= ∠2 所以 BF=BC 因为∠ 3= ∠1, AC=BA ,∠ 4= ∠ 5=Rt ∠所以 Rt△ FCA ≌ Rt△ DBA 所以 FC=DB 因为 CF 2 1 CE ?所以 BD 2 1 CE ?例 4. 已知 M、N 分别为正六边形 ABCDEF 的边 CD 、 DE 的中点, BN 与 AM 交于点 P, 则? PN BP ___________ 。图4 解:延长 AB 、 DC 交于 G ,延长 ED 、 AM 交于 H。因为 ABCDEF 为正六边形所以△ BCG 为正三角形设 AB=k ,则 BG=CG=k 因为 DH//AG 所以3 1 GM DM AG DH ??所以 k3 2 DH ?..页眉.. 页脚.. 所以7 63 k22 k k HN AB PN BP????说明:例 3 延长图形中有关的线段,构成等腰三角形的底边,例 4 中应用了平行线分线段成比例的性质。三. 延长和连结相结合法例 5. 已知在△ ABC 中, ∠ C=2 ∠B。求证: AC 2 AB ?。图5 证明:延长 BC 到D ,使 CD=AC ,连结 AD 。因为∠ 1=2 ∠B ,又因为∠ 1=2 ∠D ,所以∠ D= ∠B 所以 AB=AD<AC+CD=2AC 例 6. 已知∠ ABD= ∠ ACD=60 °,∠ ADB=90 ° BDC 2 1??。求证: △ ABC 为等腰三角形。图6 证明:延长 CD 到E ,使 DE=DB ,连结 AE 。因为∠ ADB=90 ° BDC 2 1??所以 2∠ ADB=180 ° BDE BDC ????所以∠ 1= ∠2 所以△ ABD ≌△ AED 所以∠ ABD= ∠ E=60 ° 所以△ ACE 为等腰三角形所以 AC=AE 所以△ ABC 为等腰三角形例 7. 已知△ ABC 中, AB=AC , AD 为高, BE 为角平分线, EG ⊥ BC 于G, EF ⊥ BE 交 BC 于F。求证:
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