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可靠性数学基础知识重庆大学周家启集合与事件概率是事件一定属性,事件可以通过集合(简称“集”)来描述。因之在研究概率之前,讨论一下集合基本概念。集合定义与符号具有某种规定性质事物总体称为集(合)。组成集合这些事物每一个体称为集元素或成员。只有有限个元素集称为有限集,具有无限个元素集称为无限集。例如,“A城中18岁及以上全体公民”是一个有限集,“所有正整数全体”则是一个无限集。集合常用大写字母表示,元素常用小写字母表示,如果某一个体x是集A元素,则记为读作“x属于A”。而则表示x不属于A。如果集A与集B具有完全相同元素,即集A每个元素都是B元素,集B每个元素也都是A元素,则说A等于B,记为A=B。有限集A中元素数目叫A基数,记为|A|。一个集S可以用列举出它全部元素方式来表示,例如与括号中元素排列次序无关。一个集P也可以按照它元素某种特定属性来表示,例如括号中垂直线左右记号代表集典型元素。于是前面列出集S也可写成或有两个集A与B,如果B每个元素都是A元素,则说B是A子集,记为或有时读成A包含B。一个集A也总是它本身一个子集,。集A中任何一个不等于A子集B称为A真子集,记为或如果且,则A=B。集合基本组合规则通过集运算可以将某些集合组合形成新集合,一般有如下一些运算规则。如果A与B是两个集,则它们并定义为它们交定义为例1如果S=[2、3、5、7]且T=[1、2、3],则=[1、2、3、5、7];=[2、3]如果集A与集B没有公共元素,则称它们为不相交集。这两个不相交集之交得到一个不包含任何元素集。称其为空集,以表示。因之,而且也是任意一个集N子集。–B定义为如果B是A一个子集,则有时称A–B为B在A中补集。例2如果S=[2、3、5、7]且T=[1、2、3],则S–T=[5、7];T–S=[1]集集合概念在可靠性评估技术中常会碰到集中元素本身也是一个集情况。以下用所谓幂集来说明这个概念。定义任意集A幂集(A)为A全部子集集合,即例3令A=[x,y,z],则对于集集合,其并与交定义是:令为任意集集合,则并而交如果是有限个集集合,例如,则常可写出或或例4令=[A、B、C],其中A=[2,3,5,7],B=[1,3,5],C=[1,2,3],则=[1、2、3、5、7],还可以由其它方式构成集集合。如果集A每一个元素至少属于集中一个成员,即,则称集A非空子集集合为A覆盖。如果A一个覆盖还具有如下性质:全部成员都是两两互不相交,则称是A一个划分。例5如果S=[a、b、c、d、e],则可以有如下覆盖{[a、b],[b、c、d],[b、c、e]};{[a、b],[c、d、e]};{[a]、[b]、[c]、[d]、[e]}并且上面第二及第三个覆盖又是A两个划分。事件及其集合表达样本空间人类生产与科研活动、或观察到自然现象,都存在着相互联系与制约因素,有其一定内在必然发展规律,但它们同时又受着各种各样外在偶然因素影响,呈现出现象发生“随机性”。概率论与统计学就发端于对这些“随机”现象研究。随机现象基本特征是,这些现象在一定条件下可能发生,也可能不发生,需要通过对现象统计实验来研究其发生规律。统计方法往往是在一定条件下进行试验或现场观测,将其结果记录下来,作为研究与推断依据。按原始形式收集观察记数或试验测量记录,一般称为原始数据。在统计学中常用“实验”一词来统称产生原始数据过程。抛掷硬币观察其出现正面或反面现象,是最常用统计实验例子。气象观测、水文观测、电站运行记录、产品质量检验记录等,也都是生产与科研工作中统计实验方法。通常将一个给定条件统计实验中所有可能结果总与称为“样本空间”,或者用集合术语描述为:一个项统计记录全部可能结果集合称为样本空间,并常用S表示。例6将一枚硬币抛掷两次,可能出现全部结果是,{正,正},{正,反},{反,正},{反,反},则样本空间S={{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}}例7在足够长统计时期内,“一年出现1次故障”全部可能结果,即其样本空间S={0,1,2,3,…}事件事件总是与某些实验结果相关联,理论研究中一般作出以下假设:(1)在相同条件下重复进行;(2)实验结果可能不只一个;(3)不可能预先判定每一次实验将出现结果。工程研究中事件一般都可以用集合来描述为:样本空间中一个子集称为事件。例8设某种电子元件使用寿命样本空间为,式中t为该元件寿命,则是该元件寿命等于或小于5年事件。为研究与叙述问题方便,还常常定义以下事件:如果一个事件只包含样本空间集合中一个元素,则称这个事件为基本事件,或简单事件;如果一个事件在某个实验中一定会发生,则称这个事件为必然事件;如果一个事件在某个实验中一定不会发生,则称这个事件为不可能事件;如果一个事件在某