第五章5矩阵的相似对角化精要.ppt

线性代数朱立永北京航空航天大学数学与系统科学学院答疑时间:星期二晚上 18:00 - 20:30 星期四晚上 18:00 - 20:30 答疑地点: J4-102 Email: ******@buaa. 线性代数第五章矩阵的相似变换§ 方阵的特征值和特征向量§ 矩阵的相似对角化§ 实对称矩阵的相似对角化线性代数§ 矩阵的相似对角化 相似矩阵 矩阵的相似对角化线性代数 相似矩阵定义 设A、B为两个 n阶矩阵,若存在n阶可逆阵 P使 B AP P??1称矩阵 A与B相似,记为 A∽B。用可逆矩阵 P对A作运算 P -1 AP ,称为对矩阵A进行一次相似变换. 线性代数(1) 反身性: 对任意 n阶方阵 A,有A∽ A; 矩阵的相似还具有以下运算性质: (3) 传递性: 若A∽B,且B∽C,则A∽ C. (2) 对称性: 若A∽B,则B∽A; : 线性代数(3) 若P -1A 1 P = B 1 , P -1A 2 P = B 2,则 P -1A 1A 2 P =B 1B ,若 A∽B,则 A k∽B k,k为正整数; (4) 若A∽B, f (x)是一个多项式,则 f (A)∽f(B ). 以上运算性质可以用来简化矩阵的计算. (2) 若A∽B,则 kA∽kB, k为常数,k∈P成立; (1) 若P -1A 1P = B 1 ,P -1A 2 P = B 2,则; 矩阵的相似具有以下运算性质: 1 1 2 1 2 ( ) P A A P B B ?? ??线性代数相似矩阵的下述性质,称为相似不变性。定理 设A∽B,则有(1)R(A )= R(B),此处 R(A),R(B)分别是 A、B的秩;(3)A可逆时 B也可逆, A -1∽B -1. (2) BA?; 线性代数由于|A|=| B|,故|A|≠0时|B|≠0,即 A可逆时 B也可逆,反之亦然. 且证(1) 和(2) 是显然的,只证(3). 即. 证毕。 1 1 1 1 1 ( ) B P AP P A P ? ????? ? 1 1 A B ? ?线性代数定理 相似的矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值. 证设A∽B,则有可逆阵 P使P -1 AP =B, 从而 PAEP AP PEBE)( 1 1??????????AEAEPPPAEP??????????? 1 1这样, . 证毕. 线性代数注: 定理 ??????????????????10 11,10 01B A的,因为 A是单位阵, 而与单位阵相似的矩阵只能是其本身. ?? 21????????BEAE,但 A与B不是相似