热点关注从“阿波罗尼斯圆”说起.doc

从“阿波罗尼斯圆”说起江苏省启东中学张杰众所周知,到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆,到两定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹是双曲线,那么到两定点的距离之商为定值的点的轨迹是什么呢?它就是“阿波罗尼斯圆”.用数学语言叙述为:在平面上给定相异两点A、B,设P点在同一平面上且满足,当且时,P点的轨迹是个圆,这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。:设三角形的三边长分别为,中线长分别为,则有,,,“阿波罗尼斯圆”的问题在近年高考中已成为热点问题,如2008年江苏试题:满足条件AB=2,的的面积的最大值是。简解:以AB所在直线为x轴,中点O为坐标原点,建立直角坐标系,则点A(-1,0),B(1,0),设点,则由条件得,化简为其中,从而,,下面就2011年南通市一模试题作一分析:题目:已知等腰三角形腰上的中线长为,则该三角形的面积的最大值是▲.AyCBODx图1解题分析:本题条件是等腰三角形腰上的中线长为定值,若将此中线两端点作为定点,则等腰三角形顶角顶点到此两定点距离之比为2(或),所以它的轨迹就是“阿波罗尼斯圆”.由此得到约束条件,,以中线BD所在直线为x轴,中点O为坐标原点,建立直角坐标系,则点B坐标为,又设,则因点D是AC中点,得,其中,由AC=AB得,化简得,其中从而,,而面积,所以当时,.,以底BC所在直线为x轴,中点O为坐标原点,建立直角坐标系,设,,(),则腰AC中点,由BD=得,由基本不等式得,从而,因面积为,,高AO=,则腰AC=AB=,由三角形中线长公式,得,,记等腰三角形ABC的底边BC上的中线AO与腰AC上的中线BD相交于点G,则G为重心,得,由的面积,GDABOC图3得面积,,两腰之长为,D为腰AC中点,则在三角形ABD内利用余弦定理,,化为,从而由,得,,则由得,当时,有最大值,此时,,从而,于是,所以当时,.,记等腰三角形ABC的底边BC上的高为AO,则,从而,由基本不等式得,所以面积,:上述解法中,前三种是利用“阿波罗尼斯圆”的性质求解的,解法八利用了向量法,其本质仍是“阿波罗尼斯圆”的推论,而解法四到七,是由于所求问题是三角形的面积问题,显然可用解三角形的知识求之,其中也考查了基本不等式及函数最值问题,可谓是“在知识的交汇处命题”:(2011年同济等九所高校自主招生试题)在△ABC中,AB=2AC,AD是的平分线,且.(1)求的取值范围;(2)若△ABC的面积为1,求为何值时,:(1)以BC所在直线为x轴,中点O为坐标原点,建立直角坐标系,不妨设点,其中,点,则由条件得,化简为,其中,由角平分线定理