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均值不等式如果 a,b∈R,那么 a 2+b 2≥2ab (当且仅当 a=b时取“=”) 证明: 2 22)(2baab ba??????????????0)( 0)( 2 2baba baba 时, 当时, 当 ab ba2 22??: Rba?,“=”的条件: ba?定理: 如果 a, b∈R +,那么 ab ba??2(当且仅当 a=b时,式中等号成立) 证明: ∵ 2 2 ( ) ( ) 2 a b a b ? ?∴ ab ba2??即: ab ba??2当且仅当 a=b时 ab ba??2 均值定理: 注意: : a, b为正实数. : 两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。称 2 a b ?为a,b的算术平均数, (a >0, b >0) 2 a b ab ??称为基本不等式称 ab的几何平均数。为a,b 几何直观解释: 令正数 a,b为两条线段的长,用几何作图的方法,作出长度为和的两条线段,然后比较这两条线段的长。 2 a b ?ab 具体作图如下: (1)作线段 AB =a+b,使 AD =a, DB =b, (2)以 AB 为直径作半圆 O; (3)过 D点作 CD ⊥ AB 于D,交半圆于点 C (4)连接 AC , BC , CA ,则 2 a b OC ?? CD ab ? ab a+b 2 b aO D C B A当a≠b时, OC > CD ,即 2 a b ab ??当a=b时, OC = CD ,即 2 a b ab ?? ab >0 ,求证: ,并推导出式中等号成立的条件。 2 b a a b ?≥证明:因为 ab >0 ,所以, 根据均值不等式得 0, 0 b a a b ? ? 2 2 b a b a a b a b ? ??≥即 2 b a a b ?≥当且仅当时,即 a 2=b 2时式中等号成立, b a a b ?因为 ab >0 ,即 a,b同号,所以式中等号成立的条件是 a=b. 例2.( 1)一个矩形的面积为 100 m 2,问这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最短?最短周长是多少? (2)已知矩形的周长是 36m,问这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的面积最大?最大面积是多少? 分析:在( 1)中,矩形的长与宽的乘积是一个常数,求长与宽的和的 2倍的最小值; 在( 2)中,矩形的长与宽的和的 2倍是一个常数,求长与宽的乘积的最大值。解:( 1)设矩形的长、宽分别为 x(m), y(m),依题意有 xy =100( m 2), 因为 x >0 ,y >0 ,所以, 2 x y xy ?≥因此,即 2(x+y)≥40。当且仅当 x=y时,式中等号成立, 此时 x=y =10 。因此,当这个矩形的长与宽都是 10m时, 它的周长最短,最短周长是 40m. (2)设矩形的长、宽分别为 x(m),y(m), 依题意有 2(x+y )=36 ,即 x+y =18 , 因为 x >0 ,y >0 ,所以, 2 x y xy ?≤因此 xy≤9将这个正值不等式的两边平方,得 xy≤81, 当且仅当 x=y时,式中等号成立, 此时 x=y =9 ,