3-19 - 一阶微分方程解存在唯一性定理Picard定理及其证明.doc

一阶微分方程存在唯一性定理(Existence and Uniqueness Theorem of Initial Value Problem of ODE )
[教学内容] 1. 上一章内容小结和习题课; ; 3. 介绍柯西解的存在唯一性定理和Picard定理; 4. 介绍定理的证明.
[教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程初值问题的解的存在唯一性定理,难点是如何引入了解定理的证明思路和过程
[教学方法] 自学1、2、3;讲授4、5课堂练习
[考核目标]
知道一阶微分方程的类型及其解法; 2. 知道Lipshitz条件和解的存在唯一性定理(柯西版本和Picard版本); 3. 知道Picard定理的证明思路和过程; 4. 会用Picard函数序列给出微分方程初值问题的近似函数解. 5. 了解和掌握Graonwall积分不等式.
1. 一阶微分方程类型及其初等解法小结
(1)认识一阶微分方程:
一阶线性方程(交换x,y或Bernoulli方程及其他可通过引入变量替换化为一阶线性方程的)、一阶可分离变量型方程(齐次方程以及其他可化为可分离变量型的)、
一阶对称形式的恰当方程(通过引入积分因子可化为恰当方程的方程)
一阶隐方程(可解出x或y的类型,以及x, y, y’只含有其中两个的方程类型)
(2)解法
常数变易公式、Bernoulli方程的变量替换
分离变量方法、齐次方程的变量替换
恰当方程的解法、积分因子的求法
隐方程的求导法和参数法
(3)例题
上述提到的方程类型各举出一个例子来,并用上面的方法来求解,允许一题多解.
介绍一些可以化为微分方程来求解的函数方程和积分方程(参见上节讲义).
预告:下周二上午第一节课进行上一章测试,请相互转告.
2. 必要准备:数学中的进化论
生物上,比如水稻品种一代一代通过基因重组往高产优质方向优化,还有如下图片.
在数学上也有类似的进化过程,下面就说一说.
(1)考察三次代数方程 x3+4x-2Š0. 该方程没有有理根. 该方程只有唯一实根且落在[0,1]. 下面有两种思路来找到该方程的根.
思路一:运用连续函数的零点定理, 记表示第一代;将平分为两个子区间,取满足如下条件子区间作为第二代,即;将平分为两个子区间,取满足如下条件子区间作为第三代,即;将平分为两个子区间,取满足如下条件子区间作为第四代,即;... ... 这样下去,越来越接近方程的根 x ,其中误差就是.
思路二:运用教材P89
则方程就是,方程的根也就是函数f(x)的不动点. 可以验证f(x)满足教材P89习题9的条件(自行验证),于是方程的根存在且唯一,下面就用进化的思想来寻找方程的根.
选取第一代(这里可以选其他实数);经过进化机制(用f(x)作用一下)得到第二代;再经过进化机制(用f(x)作用一下)得到第三代;再经过进化机制(用f(x)作用一下)得到第四代;再经过进化机制(用f(x)作用一下)得到第五代;再经过进化机制(用f(x)作用一下)得到第六代;... ... 越来越接近方程的根 x .
打个比方,把方程的根比作我们想要的某种属性的对象,