常见算法——动态规划.doc

常见算法——动态规划-动态规划一、动态规划的基本思想: 动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中,可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值,我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题,则分解得到的子问题数目太多,有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,这样就可以避免大量的重复计算,节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到,只要它被计算过,就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样,但它们具有相同的填表格式。二、设计动态规划法的步骤: 1、找出最优解的性质,并刻画其结构特征; 2、递归地定义最优值(写出动态规划方程); 3、以自底向上的方式计算出最优值; 4、根据计算最优值时得到的信息,构造一个最优解。步骤 1-3 是动态规划算法的基本步骤。在只需要求出最优值的情形,步骤 4可以省略,步骤 3中记录的信息也较少;若需要求出问题的一个最优解,则必须执行步骤 4,步骤 3中记录的信息必须足够多以便构造最优解。三、动态规划问题的特征: 动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具有的两个重要性质:最优子结构性质和子问题重叠性质。 1、最优子结构:当问题的最优解包含了其子问题的最优解时,称该问题具有最优子结构性质。 2、重叠子问题:在用递归算法自顶向下解问题时,每次产生的子问题并不总是新问题,有些子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质,对每一个子问题只解一次,而后将其解保存在一个表格中,在以后尽可能多地利用这些子问题的解。四、示例防卫导弹问题描述:一种新型的防卫导弹可截击多个攻击导弹。它可以蚯胺尚校部梢杂煤芸斓乃俣认蛳路尚校梢院廖匏鹕说亟鼗鹘サ嫉豢梢韵蚝蠡蛳蛏戏尚小5 幸桓鋈钡悖」芩⑸涫笨梢源锏饺我飧叨龋荒芙鼗鞅人洗谓鼗鞯嫉彼Ω叨鹊突蛘吒叨认嗤牡嫉 O侄哉庵中滦?防卫导弹进行测试,在每一次测试中,发射一系列的测试导弹(这些导弹发射的间隔时间固定,飞行速度相同),该防卫导弹所能获得的信息包括各进攻导弹的高度,以及它们发射次序。现要求编一程序,求在每次测试中,该防卫导弹最多能截击的进攻导弹数量,一个