求解行列式的方法和技巧.pdf.pdf

收稿日期:2003-01-10 作者简介:齐成辉(1961?),男,陕西乾县人,咸阳师范学院讲师文章编号:1001-3857(2003)Sup.-0026-04 求解行列式的方法和技巧齐成辉(咸阳师范学院数学系,陕西咸阳721000) 摘?要:行列式的求解是高等代数中一个非常重要的内容,,即导数法、代数方程组法、分离线性因子法、积分法等,以拓宽行列式解题思路. 关键词:行列式;导数;积分;函数中图分类号:O151?22?文献标识码:A 高等代数中关于行列式求解,通常都是如何用性质、展开式、特殊形等方法,即用高等代数知识求解高等代数问题,跨专业、跨学科解法很少介绍,所以学生们无法触及到这方面的知识, 不利于培养厚基础,,作了这方面的尝试. 1?导数法这种方法是利用已知行列式巧妙地构造以函数作为其元素的行列式,再利用n阶行列式求导的结果是n个行列式之和,且每个行列式是由一行求导而其它各行不变所构成(或一列求导而其它各列不变所构成). 例1?计算n阶行列式D n= 1 1 ? 1 a 21 a 22 ? a 2n a 31 a 32 ? a 3n ???? a n-1 1 a n-1 2 ? a n-1 n a n1 a n2 ? a nn . 解?(x)=e x. 令?????T n(x)= f xa 1 f xa 2 ? f xa n a 1f xa 1 a 2f xa 2 ? a nf xa n ???? a n-1 1f xa 1 a n-1 2f xa 2 ? a n-1 nf xa n . (1) 第31卷?专?辑陕西师范大学学报(自然科学版) ?Sup. ?2003年4月 JournalofShaanxiNormalUniversity(NaturalScienceEdition) ?由范得蒙行列式,得????T n(x)=f xa 1 f xa 2 ?f xa n ? 1?j?i?n (a i-a j). (2) 由(1)式知T n(x)的导数是n个行列式之和,但只有对第一行求导所得的行列式不为零, 其余n-1个行列式都因有两行相同而等于零,这样按行列式求导的规则可得??????T? n(x)= 1 a 1?a n f xa 1 f xa 2 ?f xa n D n. (3) 又?????f xa 1 f xa 2 ?f xa n =f 1a 1 + 1a 2 +?+ 1a n x. 由(2)式得 T? n(x)= 1a 1 + 1a 2 +?+ 1a n f xa 1 f xa 2 ?f xa n ? 1?j?i?n (a i-a j). (4) 因为(3)右边=(4)右边,所以????D n=(a 1a 2?a n) xa 1 + xa 2 +?+ xa n ? 1?j?i?n (a i-a j). 2?代数方程组法当所求行列式是由n个元素组成的,若用曾求解过的行列式作系数行列式,构造一个n元线性方程组,所求行列式中可作为线性方程组解的组成部分,于是就可依下面的方法求解. 例2?设D n是行列式,而D是范得蒙行列式(如下): ????D n= 1 1 ? 1 a 1