1 建模实例: 基金使用计划模型某校基金会有一笔数额为 M 元的基金, 打算将其存入银行或购买国库券. 当前银行存款及各期国库券的利率见表 3-17. 假设国库券每年至少发行一次, 发行时间不定. 取款政策参考银行的现行政策. 校基金会计划在 n 年内每年用部分本息奖励优秀师生, 要求每年的奖金额大致相同,且在n 年末仍保留原基金数额. 校基金会希望获得最佳的基金使用计划, 以提高每年的奖金额. 请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案, 并对 M= 5000 万元,n= 10 年给出具体结果: ①只存款不购国库券; ②可存款也可购国库券; ③学校在基金到位后的第 3 年要举行百年校庆, 基金会希望这一年的奖金比其它年度多 20%. 表 3-17 银行存款税后年利率( %) 国库券年利率( %) 活期 半年期 一年期 二年期 三年期 五年期 本题是 2001 年全国大学生数学建模竞赛题目 C题. 作者:雷波张天宇罗晓琴指导教师:李治⑴问题的重述(略).⑵基本假设假设学校基金在第一年初到位; 假设学校每年发放奖金的时间都是在每年末; 假设通货膨胀率忽略不计; 假设每次都能按需购买到国库券; 假设银行储蓄年利率和国库券年利率在十年内基本不变; 假设国库券每次发行都有二年期、三年期、五年期. ⑶符号说明 M 表示基金数; A 表示每年发放的奖金额; x i0 表示第 i 年用于活期存款的资金; r 0 表示活期存款的税后年利率; x i1 表示第 i 年用于半年期存款的资金; r 1 表示半年期存款的税后年利率; x i2 表示第 i 年用于一年期存款的资金; r 2 表示一年期存款的税后年利率; x i3 表示第 i 年用于二年期存款的资金; r 3 表示二年期存款的税后年利率; x i4 表示第 i 年用于三年期存款的资金; r 4 表示三年期存款的税后年利率; x i5 表示第 i 年用于五年期存款的资金; r 5 表示五年期存款的税后年利率; y i1 表示第 i 年用于购买二年期国库券的资金; R 1 表示二年期国库券的年利率; y i2 表示第 i 年用于购买三年期国库券的资金; R 2 表示三年期国库券的年利率; y i3 表示第 i 年用于购买五年期国库券的资金; R 3 表示五年期国库券的年利率; 2 其余符号在文中直接说明.⑷银行法规和国库券政策说明根据 1992 年国务院颁发的《储蓄管理条例》和《国库券条例》有以下规定: ①我国现行储蓄存款利息计算一般是以单利计算; ②半年活期按 180 天计算; ③未到期的定期储蓄存款, 全部提前支取的, 按支取日挂牌公告的活期储蓄存款利率计付利息; 部分提前支取的, 提前支取部分按支取日挂牌公告的活期储蓄存款利率计付利息, 其余部分到期时按存单开户日挂牌公告的定期储蓄存款利率计付利息. ④, 不计复利. ⑸模型分析, 建立与求解由于问题要求在每年得到的奖金额尽量多, 因此我们在进行投资时应遵循一个基本原则:尽量选择利息率高的投资方式. 模型Ⅰ:只存款不购买国库券的投资模型分析:①由于只需在每年末发放奖金, 根据基本原则, 可以不考虑活期存款和半
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