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亚历山大后期数学中世纪的中国数学数本 2003 级?教学目标: ?了解亚历山大后期数学及《九章算术》《周髀算经》数学内容,理解刘徽、祖冲之及祖恒重要数学成就的数学思想和方法,掌握刘徽及祖恒获得球体积公式的“牟合方盖”模型构造及过程,熟练掌握《九章算术》中的重要数学成就和“出入相补”原理及其运用。?教学重点: 《九章算术》及刘徽、祖氏父子数学成就?教学难点:球体积公式的证明一、亚历山大后期和希腊数学的衰落?主要代表人物: 海伦、托勒玫、丢番图、帕波斯?海伦(公元前 1世纪——公元 1世纪),代表作《量度》,发现三角形面积公式 S=[s(s - a)(s-b)(s-c)] 1/2 其中 a,b,c为三边, s=(a+b+c)/2 ?托勒玫(约 100 — 170 年),代表作《天文学大成》, 创立了三角学,并列出了从 1/2 度到 180 0每隔半度的圆心角所对的弦的长度,相当于 0 0到 90 0的正弦表。在《大成》中提出了地心说,后被中世纪基督教尊为教条,文艺复兴时期被哥白尼日心说取代。?(一)三角术的创立?为建立定量天文学,以便用来预报天体运行的路线、位置,帮助报时、计算日历和航海,古希腊人创立了一门全新的学科——三角术。?三角术主要由希帕克斯、梅内劳斯和托勒玫(天文学家) 建立。其中希帕克斯作了奠基性工作,梅内劳斯给予发展, 托勒玫进行完善、总结并将成果收集在《大成》中。?(二)弦表的制作?在三角术的建立过程中,古希腊人获得了包括今天我们知道的相当于两角和、差的三角公式、半角与倍角等公式。此外,还制成 30 °~ 180 °每隔 度的圆心角所对弦的长度表(相当于正弦函数表),其制作过程和原理介绍如下: 1、问题?已知弧 AB 所对圆心角 2 ?求弦 AB 由今天的知识知 AC / AO ﹦ sin 当时,托勒玫将圆周分为 360 份,直径分为 120 份, ∴ sin ﹦ AC / AO ﹦(1/2)AB / 60 ﹦ 1/120 (2所对弦) ?? O AB C???2、计算特殊角的弦? 90 °的弦? AB=84 51 ’ 10 ’’ O ABA BCOEF E为 CO 中点, BE=EF FO 、 BF 分别为圆内接正十、五边形的一边 EB 2 =BO 2 +EO 2 =60 2 +30 2 =4500 EB=67 4 ’ 55 ’‘ 36 °的弦 FO=EF-EO=EB-EO=37 4 ’ 55 ‘’ 72 °的弦 BF=70 32 ‘3 ’‘ 3、补弧定理 4、托勒玫定理:圆内接四边形两对角线长的乘积等于两对边乘积之和。? AB C 已知弧 BC 的弦为 BC ,圆心角为, 则( 的弦) 2 +[(180 0-)的弦] 2 =AB 2 相当于 sin 2 +cos 2 =1 ?????5、差弧定理?当圆内接四边形一边为直径时, 已知 AB , AC ,则可求出 BC A BCD 由托勒玫定理有 AC · BD=AB · CD+BC · AD 由补弧定理,AB 已知,由 BD 可求;同理可求 CD,ADO 为直径,故 BC 可求结论: ∠ ADC 和∠ ADB 所对弦已知, 差角∠ BDC 所对弦可求,即两角差的三角函数公式 6、托还求出相当于今天的半角、倍角及求和公式,根据这些定理制作出了弦表。?丢番图(公元 246 —— 330 年),代数学的鼻祖。?墓志铭:童年占一生的 1/6 ,此后过了一生的 1/12 开始长胡子,再过一生的 1/7 后结婚, 婚后 5年生了个孩子,孩子活到父亲的一半的年龄,孩子死后 4年父亲也去世,问丢番图活了多少岁? ?主要代表作《算术》,以解不定方程而著称。创用了一套缩写符号。?著名问题:将一个已知的平方数分为两个平方数。(引出了费马大定理:x n +y n=z n 没有正整数解) 重要贡献:创用一套缩写符号,使用了特殊的记号表示未知数。?????? 0M K r r??表示方程 x 3- 5x 2 +8x - 1=0 不足:解题方法上缺乏一般性。