对一道习题的进一步探究.doc

对一道习题进一步剖析【习题】已知两定点A(-3,0),B(3,0),点M是直线l:x+y-4=0上动点,求当|AM|+|BM|达到最小时点M坐标. ,我们可以借鉴光反射原理予以求解. 设点B(2,0)关于直线l对称点为B′(m,n),则|AM|+|BM|=|AM|+|B′M|,由于点A,B′位于直线l两侧,要使得|AM|+|B′M|最小,则M为直线l与直线AB′-3=1,m+32+n2-4=0,解得m=4,n=1,即点B′坐标为(4,1),从而直线AB′方程为x-7y+3=,y方程组x-7y+3=0,x+y-4=0,得x=258,y=78,故点M坐标为(258,78). 解完题目后,=|AM|+|BM|,由于点A,B在直线l同侧,则d>|AB|.因此对于固定d,点M在以A,B为焦点,,,也即上述椭圆与直线l有交点且椭圆长轴长最短,(如图1).从上述求解中可以得到焦点A与焦点B关于切线l对称点B′连线过切点M. 图1 另外,如图1,设以A,B为焦点且与直线相切椭圆为T,切点为M,过点 M且与直线l垂直直线为l′(即椭圆T在M处法线),l′与x轴相交于点C. 根据对称性得∠1=∠∠CMB+∠2=π2,∠AMC+∠1=π2,则∠CMB=∠AMC. 即椭圆T在点M处法线l′平分∠,我们可以得到以下有关椭圆两个结论. 【定理】椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)焦点为F1(-c,0),F2(c,0),不平行于y轴直线l与椭圆相切且切点为P,椭圆在点P处法线为直线l′,则(1)点F1(或(F2)与点F2(或(F1)关于直线l对称点F2′(或(F1′)连线过切点P; (2)直线l′平分∠F1PF2. 图2 证明:如图2,设点P(x0,y0),对椭圆方程利用隐函数求导法则对x求导得2xa2+2yy′b2=0,则y′=-b2xa2y,故椭圆在点P处法线l′斜率为kl′=a2y0b2x0,又kF1P=y0x0+c,kF2P=y0x0-c. (1)切线l方程为y=-b2x0a2y0(x-x0)+y0,即为xx0a2+yy0b2=1,设点F2(c,0)关于直线l对称点为F2′(m,n),则nm-c=a2y0b2x0,x0a2•c+m2+y0b2•n2=1, 解得m=c+2b4x0(a2y0-cx0y0)y0(b4x20+a4y20),n=2a2b2(a2y0-cx0y0)b4x20+a4y20. 则kF1F2′-kPF1=nm+c-y0x0+c=-y0m-y0c(m+c)(c+x0), -y0m-y0c =2a2b2(a2x0y0-cx20y0)b4x20+a4y20+2a2b2c(a2y0-cx0y0)b4x20+a4y20-cy0-2b4x0(a2y0-cx0y0)(b4x20+a4y20)-cy0 =-2c3b2x20y0+2a4b2cy0b4x20+a4y20-2cy0=-2a2b2cx20y0+2a4b2cy0-2ca4y30