辛谱和多辛拟谱方法及应用.pdf

中文摘要中又捅要哈密尔顿体系是动力系统的一个重要体系,一切真实的、耗散可忽略不计的物理过程都可以表示成哈密尔顿体系。非线性普遍存在于哈密尔顿体系之中,众所周知,精确地求解非线性问题往往是很困难的,大多数情况下,人们还只能依靠数值方法求解非线性微分方程。在“数值算法应尽可能多地保持原问题的本质特征”的指导原则下,冯康院士首先提出了辛算法,计算实验显示,辛算法优异的稳定性和长时间跟踪能力有着重要的应用前景。对于有限维哈密尔顿系统,辛算法构造及其理论分析已经取得了丰硕的成果。与有限维哈密尔顿系统相比较,无限维哈密尔顿系统有着更加广泛的应用领域,但无限维哈密尔顿系统的辛算法还有很多问题有待研究。本文详细研究了运用Legendre多项式谱基离散无穷维函数空间的哈密尔顿算子和哈密尔顿函数,并进一步推导了半离散格式保持原无穷维哈密尔顿系统的守恒律,从而说明了Legendre多项式谱基半离散的辛性。随后,我们将该方法应用到KdV方程、水波方程以及长水波方程,并分别得到其新守恒律。 BridgeS和R崩ch在2000年首次提出了多辛Fourier谱算法,将F0urier谱引入到多辛几何离散中,在一定程度上拓宽了多辛几何算法的外延。该算法兼顾辛算法和Fourier谱算法的双重优点,具有高保真、实施方便、计算量小等优点。近年来,相关的研究工作很多,但都局限在空间方向上采用Fourier拟谱离散,时间方向上大多采用隐中点格式,这种隐式算法每个时间步都需要求解大型非线性方程组,这是一件很费时的事情。本文提出一种新的积分方案:在空间方向上运用Fourier拟谱离散,时间方向上采用Euler_box格式。我们详细研究了该方案,给出了该方案的多辛格式和多个多辛守恒律,并将该方案应用于KdV方程和薛定谔方程。通过推导,我们得到了KdV方程的一个新的显格式和薛定谔方程的一个新的半显格式。实际计算表明该方案具有很多优点,打破了先前的各种隐式对空间存储量的要求,计算中不需要每一步运用迭代去求解大型非线性方程组,而且数值模拟效果也显示出其优越性。椭圆型方程是一类重要的偏微分方程。泊松方程是典型的椭圆型方程,它的数值求解在计算流体力学中有着重要的地位,其中快速求解和高精度计算成为提高数值格式整体精度和速度的一个关键因素。近年来,随着科学和工程计算的需要,人们对计算精度的追求越来越高,这些需求推动着泊松方程数值求解算法的不断发展。但传统的算法都是从数值解的收敛性、精度和稳定性等方面考虑,还没有人从几何结构方面考虑泊松方程问题。论文将多辛结构引入椭圆型方程,分析了泊松方程的多辛结构,推导了泊松方程的多辛拟谱格式,并得出相关守恒律,最后进行了数值试验,取得很好的效果。该多辛方法给出了泊松方程的一个新的算法,数值模拟表明其精度很高,这同时表明多辛算法甚至保结构算法是完全可以应用到椭圆型系列方程中去。关键词:哈密尔顿系统;辛和多辛;Legendre多项式;Fourier拟谱;Euler- b0X格式;泊松方程. Abst ract The Hamiltonian system is an important system ofdynamic systeIlls,and all the realphysical processes where the dissipation can bene91ected can bewritten nonlinear problem generally existsintheHamiltonian system. As isweU known,it isoften very di伍cult tosolve thenonlineaur problem most situations,people can only depend upon thenumerical method tosolve nonlinear di如rentialequations. BaSed on the basic rulethat肌merica_l algorithms should preserVe the intrinsicproperties oftheoriginalproblems a_smuch alSpossible,Fbng firstproposed theconcept ofsymplectic algorithm forH锄iltoIlian hasbeen proved by putations thatthesymplectic scheme have very wide and important applications inmany fields