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第三章第三章向量组的线性相关性向量组的线性相关性返回 n 维向量及其运算 线性相关性 极大线性无关组 n n 维向量及其运算维向量及其运算返回一、 n维向量的概念二、向量的线性运算三、向量空间的概念一、一、 n n 维向量的概念维向量的概念, , . ???常用小写的希腊字母表示向量 12naana ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??类似地,称=为维列向量. 1 2 1 2 , , , ( , , , ) . nni n a a a a a a n a i ??个数组成的有序数组称为维行向量,其中称为该向量的第个分量若干个同维数的列(或行)向量所组成的集合叫做向量组. 例如维列向量个有矩阵 mn a ij A nm)( ?????????????????aaaa aaaa aaaaA mn mj mm nj nj???????????? 21 2222 21 1112 11 1b 向量、向量组与矩阵向量、向量组与矩阵 2b jb nb 1b 2b jb nb 1 2 ( , , , ). nA?即? ? ?? 1 2 , ,., nA b b b ?向量组称为的列向量组维行向量个又有矩阵类似地 nm ij aA nm)(, ???????????????????????aaa aaa aaa aaaA mn mm in ii n n???????????? 21 21 222 21 112 111a 2a ia ma 1a 2a ia ma 12. mA ?即???? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ? 1 2 , ,. , mA a a a ?向量组称为的行向量组反之,由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. 1 2 , , , m m n n m ?个维列向量所组成的向量组构成一个矩阵? ? ?? 1 2 , , , , m m n m n a a a ′ ?个维行向量所组成的向量组构成一个矩阵 12 . mB aaa 骣÷ ?÷ ?÷ ?÷ ?÷ ?÷ =?÷ ?÷÷ ?÷ ?÷ ?÷ ?桫? 1 2 ( , , , ). m A b b b =?二、二、向量的线性运算向量的线性运算(1) 向量相等: 1 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ), n n n a a a b b b k ? ?? ?? ?设维为实数, ; i i a b ? ?? ??零向量: 0 (0, 0, , 0). ??负向量: 1 2 ( , , , ). n a a a ?? ?????(2) 向量加法: 1 1 2 2 ( , , , ); n n a b a b a b ?? ?? ????(3) 数乘向量: 1 2 ( , , , ). n k ka ka ka ???向量的线性运算满足的运算律: 向量的线性运算满足的运算律: (1) ; ? ???? ??(2)( ) ( ); ? ?????? ????(3) 0 ; ? ?? ?(4) ( ) 0; ? ????(6) ( ) ( ) ( ) ; k l l k kl ? ??? ?(7) ( ) ; k k k ? ???? ??(8)( ) . k l k l ? ??? ??说明.,,VRV???????则若 , nR ;,,VVV????????则若三、向量空间的概念三、向量空间的概念定义 4 设为维向量的集合,如果集合非空, 且集合对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称集合为向量空间. nV VV V V .,3 3 是一个向量空间维向量的全体 R ,33 3R 维向量,它们都属于维向量仍然是乘数维向量维向量之和仍然是因为任意两个?