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三角形五心文档.doc1三角形外心三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上。性质:1(1)锐角三角形的外心在三角形内;直角三角形的外心在斜边上,与斜边中点重合;。2:ZB0C=2ZA(角A为锐角或肓角)或ZB0C=2(180°-ZA)(角A为顿角)・3:三角形三条边的乘肓平分线交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心•外心到三顶点的距离相等。2三角形内心在三角形中,三个内角的三条角平分线的相交于一点,这个点叫做三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。性质:1、 三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径「2、 点0是平面ABC上任意一点,点I是AABC内心的充要条件是:向量01=[a(向量0A)+b(向量OB)+c(向量0C)]/(a+b+c).3在RtAABC中,ZC=90°,r=(a+b-c)/。5AABC中,内切圆分别与AB,BC,CA相切于P,Q,R,则AP=AR=(b+c-a)/2,BP=BQ=(a+c-b)/2,CR=CQ=(b+a~c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2«6、三角形内角平分线定理:AABC中,I为内心,ZBAC、、AC、AB于Q、R、P,则BQ/QC二c/b,BP/PA=a/b,CR/RA二a/c。3三角形的垂心垂心:三角形的三条鬲或其延长线相交于一点,这点称为三角形的垂心。性质:1、 锐角三角形的垂心在三角形内;肓角三角形的垂心在肓角顶点上;、 三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍。4、 垂心分每条高线的两部分乘积相等。5、 三角形外心0、重心G和垂心H三点共线,:GH=1:2。(此直线称为三角形的欧拉线(Eulerline))定理证明已知:AABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点O,连接CO并延长交AB于点F,求证:CF丄AB证明:连接DEVZADB=ZAEB=90度・・.A、B、D、E四点共圆AZADE=ZABEVZEAO=ZDACZAEO=ZADCAAAEO^AADCAAE/AO=AD/ACAEADsAOACAZACF=ZADE=ZABE又VABE+ZBAC=90度/.ZACF+ZBAC=90度.\CF±AB因此,垂心定理成立!4三角形重心三角形重心是三角形三边中线的交点。当几何体为匀质物体吋,重心•形心重合。性质:1、重心到顶点的距离与重心到対边中点的距离之比为2:1。A例:己知:AABC,E、F是AB,AC的中点。EC、FB交于G。求证:EG=1/2CG证明:过E作EH〃BF交AC于H。VAE=BE,EH//BFAAH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)乂JAF=CF・・・HF=1/2CFHF:CF=l/2TEH//BFEG:CG=HF:CF=l/2EG=1/2CG2、 重心和三角形3个顶点纟ft成的3个三角形面积相等。证明方法:在厶ABC内,三边为a,b,c,点O是该三角形的重心,AOA\BOB'COC分别为a、b、c