求数列通项公式的11种方法.doc

精心整理求数列通项公式的11种方法方法总述::累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法)、迭代法、对数变换法倒数变换法换元法(目的是去递推关系式中出现的根号数学归纳法(少用不动点法(:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。:把所求数列通过变形,代换转化为等级差数列或等比数列。:累加法和累乘法。,其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法)(n?a?fa----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。:n1n?)n?af(a?,2)n?(n1n?(1)f?a?a12(2)fa?a?23则)na?f(?an1n?n?)f(?aa?n两边分别相加得11n?1k?}{a{a}1a?,?2??aan1已知数列1满足,求数列的通项公式。例nn11?:由得则1?a?2?2n?1na?a?an1nn?n?12}{a。的通项公式为所以数列na?nnn{a}{a}的通项公式。,求数列例2已知数列满足3?13,a?a?a?2?1nn?1nnnn则得解法一:由1?2?13a?aa?a?2?3??n?1nnn?1a?(a?a)?(a?a)??(a?a)?(a?a)?a1?n?1213nn?12n2n2211n?n???1)?1)?(2?3(2?3?(2?33??(2?31)??1)?21n?2n?1)??(n?1)??2(33??3?331n?)3(1?33n?(?1)??231?n3???33??n1n1?n??3n所以1.?a?3?nnaa211n?nn?1n,解法二:两边除以,得3???13a3??2?a?n1n?n?1nn?13333aa12nn?1???则,故1n1n?n?33331n?1)3(1?a2(n?1)2n11n3n因此,???1???nn32??332331211nn则.???a??n?33n322????*aa)Nn??a?a2n(,且的首项为1答案:nnn?1n21n?n?1(n?a?2)?a1n?n}a{3?an(n?1),,.答案:裂项n11??)f(na?a?a?an1n?的一次函数、二次函数、指f(n)可以是关于,n,其中评注:、分式函数,求通项n;是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和①若f(n);n的二次函数,累加后可分组求和②若f(n)是关于;n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和③若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。④若f(n)是关于n1)S?a?.的通项公求数列已知数,:由已化简由类(1,1,,所1)?112n(n?)?2n(na?、累乘法a?f(n)a----------:这是广义的等比数列n?n1累乘法是最基本的二个方法之二。aaaa1n?n?312)n(?f?f,(n,?f(1))?f(2),.若,则2aaaann21na?1n?两边分别相乘得,)kf(a??1ak?11n{a}{a}3a,a?1)5n?2(a??的通项公式。已知数列4满足,求数列例1nn1??n1)5??2(n,故,所以,则解:因为0a?3??a1)5,a?a?2(n11nn?nanaaaa3?n1n2??a????a1naaaa1n?122n?21n?1n?2]??][2(n3?[2(n?1?1)5???[2(21)?52][2(1?1)?51)5]??2)n?n?1)?n?1(??21(3?5?2??([nn?1)?3?2]1)?n(n1n?!n??2?3?51!所以数的通项公式n=,…)是首项的正项数列,且,=:已知等式可化为:an1?n?an?1?a?na00?a*Nn???n即,)((n+1)nn?1nan?1n?na2?n?时,n?11aaa121n?n?1n?n2a??a????1????=?1naaa=n21nn?.12n?1n?aa的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到和评注:本题是关于1?nnaaa的更为明显的关系式,?1?,1a??ana?n?,求数列{an}?na?(n?1)!?(a?1)-:n1a?na?n?1,转化为评注:本题解题的关键是把原来的递