排列组合和排列组合计算公式.doc

排列组合公式/ 排列组合计算公式排列 P------ 和顺序有关组合 C ------- 不牵涉到顺序的问题排列分顺序, 组合不分例如把 5 本不同的书分给 3个人, 有几种分法."排列" 把5 本书分给 3个人, 有几种分法"组合" 1 .排列及计算公式从 n 个不同元素中,任取 m(m ≤ n) 个元素按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列;从 n个不同元素中取出 m(m ≤ n) 个元素的所有排列的个数, 叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号 p(n,m) 表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2) ……(n-m+1)= n!/(n-m)!( 规定 0!=1). 2 .组合及计算公式从 n 个不同元素中,任取 m(m ≤ n) 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合;从 n 个不同元素中取出 m(m ≤ n) 个元素的所有组合的个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数. 用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!) ; c(n,m)=c(n,n-m); 3 .其他排列与组合公式从 n 个元素中取出 r 个元素的循环排列数= p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n 个元素被分成 k 类,每类的个数分别是 n1,n2,...nk 这 n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k 类元素, 每类的个数无限, 从中取出 m 个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列( Pnm(n 为下标, m 为上标)) Pnm=n ×( n-1 ) .... ( n-m+1 ); Pnm=n ! /( n-m )!(注: ! 是阶乘符号); Pnn (两个 n 分别为上标和下标) =n !; 0! =1 ; Pn1 ( n 为下标 1 为上标) =n 组合( Cnm(n 为下标, m 为上标)) Cnm=Pnm/Pmm ; Cnm=n ! /m !( n-m )!; Cnn (两个 n 分别为上标和下标) =1 ; Cn1 ( n 为下标 1 为上标) =n ; n-m 2008-07-08 13:30 公式 P 是指排列,从 N 个元素取 R 个进行排列。公式 C 是指组合,从 N 个元素取 R 个,不进行排列。 N- 元素的总个数 R 参与选择的元素个数!-阶乘,如 9!= 9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数 r 个,表达式应该为 n*( n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从 n到( n-r+1) 个数为 n-( n-r+1) =r 举例: Q1: 有从 1到9共计 9 个号码球,请问, 可以组成多少个三位数? A1: 123 和 213 是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的,既属于“排列 P”计算范畴。上问题中, 任何一个号码只能用一次, 显然不会出现 988,997 之类的组合, 我们可以这么看, 百位数有 9种可能,十位数则应该有 9-1 种可能,个位数则应该只有 9-1-1 种可能,最终共有 9*8*7 个三位数。计算公式= P(3, 9)= 9*8*7,( 从9倒数 3 个的乘积) Q2: 有从 1到9共计 9 个号码球,请问, 如果三个一组, 代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”? A2: 213 组合和 312 组合, 代表同一个组合, 只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的,属于“组合 C”计算范畴。上问题中, 将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数 C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有 3 名学生和 4 个课外小组.(1) 每名学生都只参加一个课外小组;( 2 )每名学生都只参加一个课外小组,? 解( 1 )由于每名学生都可以参加 4 个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的人数,因此共有种不同方法. (2 )由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此共有种不同方法. 点评由于要让 3 名学生逐个选择课外小组, 故两问都用乘法原理进行计算. 例2 排成一行,其中不排第一, 不排第二, 不排第三, 不排第四的不同排法共有多少种? 解依题意,符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个,共 3 类,每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出: ∴符合题意的不同排法共有 9种. 点评按照分“类”的思路,, “树图”是一种具有直观形象的有效做法,也是解决计数问题的一种数学模型. 例3 判断下列问题是排列问题还是组合问题?并