线性方程组求解的数值方法__ppt.ppt

第三章线性方程组求解的数值方法 Gauss 消去法与矩阵的 LU 分解 Cholesky 分解 向量范数与矩阵范数 古典迭代法的构造 迭代法的分析 超松弛迭代( SOR )及分块迭代方法 线性方程组的条件 稀疏矩阵的计算线性方程组求解的数值方法若矩阵 A非奇异,该方程组有惟一解,用克莱姆( Cramer ) 法则表示: k k D x D ?,( 1, 2, , k n ??) 其中 det D A ?, k D 是用向量 b 代替 A 的第 k 列后所得矩阵的行列式。克莱姆法则解线性方程组的计算量(乘法次数): ( 1) ! ( 1) ( 1) !( 1) nS n n n n n ? ????????次。运算量很大!!§ Gauss 消去法与矩阵的 LU分解?基本思想:用逐次消去未知数的方法把原方程组化为三角形方程组再求解。?消元:用初等变换将原方程组的系数矩阵化为三角形矩阵(简称三角阵)再求解的方法。?回代:解出三角形方程组的最后一个方程,将求得的值逐步往前一个方程代入的方法。引进记号: (1) (1) (1) 11 12 1 (2) (2) 22 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n k k k kk kn k k kn nn a a a a a A a a a a ? ?? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??? ??? ??? ???, (1) 1(2) 2 ( ) ( ) ( ) k k k k n b b b b b ? ?? ?? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ?? ???,( 1, 2, , ) k n ??矩阵形式: ( ) ( ) k k A X b?,( 1, 2, , ) k n ??消元假定:主元(1) ( 2) ( ) 11 22 0, 0, , 0 nnn a a a ? ? ??计算公式: ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( `) ( ) ( ) ( , 1, 2, , ) ( 1, 2, , ) kik ik kkk k k k ij ij ik kj k k k i i ik k a m a a a m a i j k k n k n b b m b ???????? ? ??????? ????? ?为什么选主元避免方法:高斯主元消元法