数列极限的几种计算方.doc

-----174560123数学的应用,在我们的生活中随处可见,而数学分析中的数列极限是高等数学的重它描述了变量在运动过程中的变化趋势,是,要内容,是贯穿于整个微积分教学的主线同时,数列极限又.,从近似认识精确,从量变认识质变的必备推理工具从有限认识无限是极限的基础,它的计算是微积分教学中的重点和难点,所以本文通过典型实例,???aa,使得当时设,总存在,为数列,为任一常数,若对任给的n>N?0N>0n?????aaaa?aa?.有以为极限则称数列收敛于或称数列,,nnn注1一般来说,用定义求数列极限局限性很大,它更多地被应用于有关极限值的相关证明,对于如何用数列极限定义证明数列极限问题,常用的基本方法有:适当放大法,?3lim用定义法证明数列极限例题12n?3??n分析由于29n93??(1).???3n?322n?3n?3n9??,?便有因此,对任给的只要0,?n2n3?,?3?2?3n1--届毕业论文数学与统计学院20159?,?时即当1)式是在的条件下成立的,(3?nn9}.?max{3,N?9?}.N?max{3,任给取证明0,??根据分析,当时Nn?2n3?.有成立??323?,则设极限与nn??nn????;b?lim?lim(1)limaa?bnnnn????n??nn??;limb?lim(2)limaabnnnn??n????nn??;a?3()alimnn????nnlima??a??n??nn;?0?(4)limlimb??nbblim??n??n??nn??n而不能推广到无限个数列数列极限的四则运算只能推广到有限个数列的情况,?5n2n?lim求极限例题224?3nn???n112??n0??0,再利用,所以有于是给分子分母同时除以分析由于,.??56?2?262n?5n?2nn解lim?lim1124?3n?n??nn????41?3?2nn11???65??lim2???2nn????n2??.11???4???lim13??2nn????n利用数列的一些特征计算数列极限32--2015届毕业论文数学与统计学院方法只适用于一此种方法也就是直接将数列进行化简,,不具有一般性??1111计算极限例题3.?????lim????n?n?1)?33?4(1?22??n????n11?,由观察数列,可以看出数列极限为,通项分析?alim??1n?n?n?1)(i?i?1)(??n??2i?,所以括号中的式子可用裂项相消法计算,??n1n??1)?n(n??1111解?????lim????n??1)?4(n1?22?33??n??11111??????????lim1????32?1n2n????n1?????lim??n????n4利用夹逼准则计算数列极限A?,limblim,limba?Alima,则有满足均存在,且,若数列设b?c{c}?annnnnnnn??n??n??n???limn??n使得放大后和缩:将原数列适当地放大和缩小,,则原数列的极限值存在且等于新数列的极限值??1111??????lim?计算数列极限4例题??2222??nn?n1?n3?2?nn??括号里的数列极限不能用上面的方法,但是,数列可以放大和缩小,所以关分析}ba}{{.,进而可以用夹逼准则来计算数列极限键是找到极限值相等的数列与nn??1111nn?????????解??2222221n?n?nnn?n?1?2n3n???1n?lim1,?且lim12??n??nnn??1n3--??12??n??n1n??12n根据夹逼准则,有???1111=1.???????lim??2222??n1?n?nnn?2n?3??利用“单调有界数列必有极限”准则求解数列极限5??.???1,2a?Mn?alim那么(a)如果数列单调增加且有上界,即存在数M,使得}a{nnn????,,2???a?m?n1alim存那么单调递减且下界,即存在数m,使得(b)如果数列}a{nnn??“单调有界准则”