微积分辅导zw下.pdf

!! 第三章
一元函数积分学
内容提要
一!不定积分
!
原函数与不定积分的概念
!!
原函数的定义
!!"
设有函数和如果在区间内任何一点处都有
"!#" $!#"# !%#&" $’!#"(
或则称是在内的一个原函数
"!#"# "$!#"("!#""## $!#" "!#" !%#&" !
不定积分的定义
!#"
设是在内的一个原函数则的全体原函数
$!#" "!#" !%#&" # "!#" $!#")
为任意常数称为的不定积分记为
*!* " "!#" #
""!#""# ( $!#")*
不定积分的几何意义
设是的一个原函数则曲线称为的一条积分曲
$!#" "!#" # +($!#" "!#"
线不定积分就表示的积分曲线族由于对任意常数恒有
! "!#" ! *#
$$!#")*%’( $’!#"("!#"
故各积分曲线在横坐标相同的点处的切线斜率相等即各切线相互平行
# !
不定积分的基本性质
!$"
或
!"$"!#""#%’("!#" ""$"!#""#%("!#""#
&#"! &
书
第三章一元函数积分学
!
或
""$’!#""# ( $!#")* ""$!#"( $!#")*
其中为非零常数
#"%"!#""# (%""!#""# % !
$"$"!#",-!#"%"# (""!#""#,"-!#""#
基本积分表式中为任意常数
#! ! * "
!!""%"# (*
% ! !)!
!#"#"# ( # )*#!#.!
" !)!
"#
!$" (&’/#/)*
"#
"#
!(" ()*+,)’#)* (.)*++-,#)*
"!)##
"#
!." ()*+/0’#)* (.)*++-/#)*
"!!.##
!1""+-/#"# (/0’#)*
!2""/0’#"# (.+-/#)*
!3""/4+##"# (,)’#)*
!5""+/+##"# (.+-,#)*
换元积分法
$!
第一类换元法凑微分法
!!" ! "
设都是连续函数为的一个原函数则有第一
"!0"’"!#"’"’!#" #$!0" "!0" #
类换元积分公式(
""$"!#"%"’!#""# ( $$"!#"%)*
第二类换元法
!#"
设均为连续函数的反函数.! 存在且可
"!#"’#!1"’#’!1" ##(#!1" 1(# !#"
导并且为的一个原函数则有第二类换元积分公式
# $!1" "$#!1"%#’!1" # (
""!#""# ( $$#.!!#"%)*
分部积分法
(!
设和均有连续导函数则有分部积分公式
0 (0!#" 2 (2!#" # (
&#"" &
微积分上同步辅导及习题全解
!! " #
!!!!!"02’"# (02."0’2"#
或者
"0"2 (02."2"0
二!定积分
定积分的概念
!!
定积分的定义
!!"
设是定义在区间上的函数任取一组分点
"!#" $%#&% # (%(#% $#! $## $
) $#3.! $#3 (&
将区间分为个小区间任取作和
$%#&% 3 # $4 % $#4.!##4%!4(!###)#3"# 53
3
记当时若此和式的极
( "!4"’#4# (’( ( 6)7*’#4+# (’( *% #
$ ! 4 3
4&(! ) )
3
限存在即存在且极限值与的分法及点的取法
# &06 "!4"’#4 # $%#&% 4
% $ $
(’( * 4&(!
无关则称此极限值为在上的定积分记作
# "!#" $%#&% #
& 3
!!!!! "!#""# ( &06 "!$4"’#4
% (’(*% &
" (’( *%
定积分& 的几何意义是曲线与直线与轴
"!#""# + ("!#" # (%’# (& #
"%
所围平面图形面积的代数和轴上方的图形面积减去轴下方的图形面
!# #
积就是定积分& 的值
"!#""# !
"%
定积分的基本性质
!#"
&
! "# (&.%
"%
设为常数则有
" !’% #
& & &
!! $%"!#")%-!#"%"# (! "!#""#)% -!#""#
"% "% "%
设为不相同的常数则有
# %’&’6 #