高中数学数列知识点与例题.docx

高中数学数列数列基础知识点和方法归纳知识点:(一)数列的该概念和表示法、(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;数列中的每个数都叫这个数列的项记作an,在数列第一个位置的项叫第 1项(或首项),在第二个位置的叫第 2项,⋯⋯,序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作 an;数列的一般形式: a1,a2,a3,⋯⋯,an,⋯⋯,简记作 an。2)通项公式的定义:如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式。说明:① an表示数列,an表示数列中的第 n项,an= f n表示数列的通项公式;②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。③不是每个数列都有通项公式。例如,1,,,,⋯⋯(3)数列的函数特征与图象表示:序号:1 2 3 4 5 6项 :4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。 从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集 N(或它的有限子集)的函数f(n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值 f(1),f(2),f(3),⋯⋯,f(n),⋯⋯.通常用an来代替f n,其图象是一群孤立的点(4)数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;②按数列项与项之间的大小关系分:单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。(5)递推公式定义:如果已知数列an的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。(6)(n1)求数列通项SnSn1(n2)【例1】已知数列an的前n项和Sn3n2,:当n1,a1S13121,时当n2,SnSn1(3n2)(3n12)23n1时an又a11不适合上式,故an1(n1)23n1(n2)题型二、利用递推关系求数列的通项【例2】根据数列an的首项和递推关系,a11,an1an2求其通项公式解析:因为an1an1,所以an1an11(14n214n2122n所以a2a11(11)213a3a21(11)235a4a3111(5)27⋯,⋯,anan11(11)22n32n114n2 11)1 2n 1以上(n 1)个式相加得ana11(11)22n1即:an14n3124n24n【点拨】:在递推关系中若an1anf(n),求an用累加法,若an1f(n),求an用an累乘法,若an1课外练习11、设ann anpan q,求an用待定系数法或迭代法。11,nN),则an1与an的大小关系是(C)n22n(:因为an1an1112n22n3n11102n32n2所以an1an,,则an2n2,(n1)5,(n2)(nN),则数列an的前30项中最大项和最n99小项分别是a10,a9解:构造函数yx9819998x99x99由函数性质可知,函数在(,99)上递减,且y1;函数在(99,+)上递增且y1又99,)(910a10a11a12a301a1a2a9a10最大,a9最小(二)数列等差数列的定义与性质定义:an1and(d为常数),ana1n1d等差中项:x,A,y成等差数列2Axya1annnn1d前n项和Sn2na12性质:an是等差数列()若mnpq,则amanapaq;1(2)数列a2n1,a2n,a2n1仍为等差数列,Sn,S2nSn,S3nS2n⋯⋯仍为等差3高中数学数列数列,公差为n2d;(3)若三个成等差数列,可设为ad,a,ad(4)若an,bn是等差数列,且前n项和分别为Sn,Tn,则amS2m1bmT2m1(5)an为等差数列Snan2bn(a,b为常数,是关于n的常数项为0的二次函数)Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值;或者求出an中的正、负分界项,即:当a10,d0,,0,(6)项数为偶数2n的等差数列an,有S2nn(a1a2n)n(a2a2n1)n(anan1)(an,an1为中间两项)S偶S奇nd,(7)项数为奇数2n1的等差数列an,有S2n1(2n1)an(an为中间项),S奇S偶an,,a4a6a8a10a12120,则a91a11的值为(C)