同济大学线性代数教案第四章相似矩阵及二次型.doc

线性代数教学教案第四章相似矩阵及二次型授课序号01教学基本指标教学课题第四章第一节向量的内积、长度及正交性课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点向量的内积和长度、向量的正交、正交向量组、施密特正交化过程、正交矩阵教学难点向量组的施密特正交化、正交矩阵参考教材同济版《线性代数》武汉大学同济大学《微积分学习指导》安玉伟等《高等数学定理方法问题》作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求了解向量的内积、长度、正交、标准正交基、正交矩阵等概念;掌握施密特正交化方法。教学基本内容一、向量的内积、长度:向量的内积:设有维向量,令,(其中与都是维列向量,为实数):(i);(ii);(iii);(iv),当且仅当时,.柯西-施瓦茨(-Schwarz)不等式:.向量的长度:设有维向量,令,称为向量的长度(或范数).向量的长度具有下述性质:(i)非负性当时,;当时,;(ii)齐次性;(iii):当时,、正交向量组:正交向量组:由一组两两正交的非零向量组成的向量组,:若维向量组是一个正交向量组,:设维向量组是向量空间的一个基,如果两两正交,且都是单位向量,、施密特正交化过程:设是向量空间的一个基,第一步,将基正交化(施密特(Schmidt)正交化):令则两两正交,,将单位化,,、正交矩阵:正交矩阵:如果阶矩阵满足(即),那么称为正交矩阵,,则下列结论等价:(1)是阶正交阵;(2)的列向量组是的一个规范正交基;(3):若为正交矩阵,、主要例题:例1已知3维空间中的两个向量正交,试求一个非零向量,,,求一组非零向量, 、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点方阵特征值、特征向量的求法和性质教学难点方阵特征值、特征向量的求法和性质参考教材同济版《线性代数》武汉大学同济大学《微积分学习指导》安玉伟等《高等数学定理方法问题》作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解方阵特征值、特征向量的概念和性质;掌握方阵特征值、特征向量的求法。教学基本内容一、方阵特征值、特征向量的概念及求法:特征值和特征向量:设是阶矩阵,如果数和维非零列向量使关系式成立,那么数称为矩阵的特征值,:记,则是的次多项式,:.的特征值就是特征方程的根。二、方阵的特征值与特征向量的性质:性质1设阶矩阵的特征值为,则(i);(ii).性质2若是方阵的特征值,为对应于特征值的特征向量,则(i)是方阵的特征值(为非负整数),对应于特征值的特征向量是;(ii)是方阵的特征值(为任意常数),对应于特征值的特征向量是;(iii)当可逆时,是方阵的特征值,对应于特征值的特征向量是;(iv)若矩阵的多项式是,则方阵的特征值是(其中是关于的多项式),,则(、不同时为零),是依次与之对应的特征向量,,和是分别对应于和的线性无关的特征向量,、主要例题: ,,对应的特征向量依次为和,、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点相似矩阵的概念和性质、矩阵可相似对角化的充分必要条件教学难点矩阵可相似对角化的充分必要条件参考教材同济版《线性代数》武汉大学同济大学《微积分学习指导》安玉伟等《高等数学定理方法问题》作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解矩阵相似的概念和性质;理解矩阵可相似对角化的充分必要条件。教学基本内容一、方阵相似的定义和性质:定义:设都是阶矩阵,若有可逆矩阵,,则称是的相似矩阵,,,则与有相同的特征多项式,从而与有相同的特征值