归纳函数极限的计算方法.doc

,为定数,若对任给的,存在正数,使得当时有,则称函数当趋于时以为极限,,以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限;但是结构较为复杂的函数的图形不易画出,基于直观也就无法得出极限,本着化繁为简的思想,产生了极限的四则运算法则;由“数列的单调有界准则”和“迫敛准则”产生了两个重要极限和无穷小量的性质—有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量;,,且在某内有,:当时,有而,由函数迫敛性可得同理可得时,,即注:依据函数极限的迫敛性求极限时,需判断该函数的上下范围,这时通常用到以下不等式:,除了直接使用极限的四则运算法则外,往往还有以下几种类型:分母极限为0:可先采用“约简分式”或“分子、分母有理化”进行恒等变形,将分母极限化为非零,然后再运用法则:例2求极限(和都是正整数)解:原式==等未定型:因“”不是一个数,故该类型的题目不能直接使用运算法则,但可以利用“无穷大量的导数”、“分式有理化”或“通分”等方法,将其转化为极限存在后,:原式==:,.函数经过一定变形,若能出现以下情况:时,:原式=例5求极限解:原式=,若能恰当采用等价无穷小的代换,可以起到变难为易,,如当时:例6求极限解:原式注:用等价无穷小替换求极限时,应注意只能用分子、分母整个部分去代换,或是把函数化成积的形式实行无穷小代换,:型不定式极限若函数和满足:(i);(ii)在点的某空心邻域内两者都可导,且(iii)(可为实数,也可为或),则型不定式极限若函数和满足:(i);(ii)在点的某右邻域内两者都可导,且(iii)(可为实数,也可为或),则因此函数为型,通常可采用此法,如下:例7计算极限解:原式注:“洛必达法则”是求函数极限的有力工具,但在运用中,由于积、商、复合函数的求导会使分子、分母的项数增加,导致求极限过程繁琐,因此用法则求型的极限是不够的,:利用洛必达法则求型极限时,其结果是化成某阶导数的比,而麦克劳林展开式的各项系数正分别含着各阶导数的值,:原式=注:若本题采用洛必达法则去做,:设函数在某内有定义,若,,则称为上的