极限计算方法总结(简洁版).docx

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯极限计算方法总结(简洁版)一、极限定义、:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述) 。说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:limb0(a,b为常数且a0);lim(3x1)5;limqn0,当|q|1时;不存在,当|q|nanx2n1时等等(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。(x),limg(x)都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且有(1)lim[f(x)g(x)]AB(2)limf(x)g(x)AB(3)f(x)A,(此时需B0)Bg(x)说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。(1)limxx011)x(2)lim(1x)xe;lim(1ex0xx说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,作者简介:靳一东,男, (1964—),副教授。1x例如:limsin3x1,lim(12x)2xe,lim(13)3e;等等。(即极限是0)。定理3当x0时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~ex1。说明:当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时(g(x)0),仍有上面的等价关系成立,例如:当x0时,e3x1~3x;ln(1x2)~x2。定理4如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小,且f(x)~f1(x),g(x)~1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯g1(x)f1(x)f(x)f1(x),则当lim存在时,lim也存在且等于f(x)lim,即xx0g1(x)xx0g(x)xx0g1(x)f(x)f1(x)。lim=limx0g(x)xx0g1(x) x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数 f(x)和g(x)满足:(1)f(x)g(x)的极限都是0或都是无穷大;2)f(x)和g(x)都可导,且g(x)的导数不为0;3)limf(x)存在(或是无穷大);g(x)则极限limf(x)也一定存在,且等于limf(x),即limf(x)=limf(x)。g(x)g(x)g(x)g(x)说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验证所求极限是否为“0”型或“”型;条件02)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件。,即如果 x0是函数f(x)的定义去间内的一点,则有limf(x)f(x0)。(准则1)单调有界数列必有极限。定理8(准则2