均值不等式公式总结及应用.docx

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯均值不等式应用2b21.(1)若a,bR,则a2b22ab(2)若a,bRa(当且仅当,则ab22.(1)若a,bR*,则abab(2)若a,bR*,则ab2ab(当且仅当2b时取“=”)b时取“=”)*ab(3)若a,bR,则ab22(当且仅当a b时取“=”),则x12(当且仅当x1时取“=”)x若x0,则x12(当且仅当x1时取“=”)x若x0,则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”),则ab2(当且仅当ab时取“=”)baab0ab即ababab2或-2若,则bababa(当且仅当时取“=”),bR,则(a2ab(当且仅当ab时取“=”)b)22ps.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.求最值的条件“一正,二定,三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯应用一:求最值例1:求下列函数的值域1 1(1)y=3x2+2x2 (2)y=x+x116∴值域为[6,+∞)解:(1)y=3x2+2≥23x2·2=2x2x1 1(2)当x>0时,y=x+ ≥2 x· =2;x x当x<0时,y=x+111=-(-x-)≤-2x·=-2xxx∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)解题技巧技巧一:凑项例已知x5y4x21的最大值。,求函数4x45解:因4x50,所以首先要“调整”符号,又(4x2)1不是常数,所以对4x2要进行拆、凑项,4x5x5,54x0,y4x2154x1323144x554x当且仅当51,即x1x1时,ymax1。4x时,上式等号成立,故当54x评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。技巧二:,求yx(82x)的最大值。解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值,故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。当,即x=2时取等号当x=2时,yx(82x)的最大值为8。评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。变式:设0x34x(32x)的最大值。,求函数y232解:∵0x0∴y4x(32x)22x(32x)22x32x9∴32x222当且仅当2x32x,即x30,3时等号成立。422⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯技巧三: 分离x2 7x (x 1)的值域。x 1解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有( x+1)的项,再将其分离。当,即时,y2(x459(当且仅当x=1时取“=”号)。1)x1技巧四:换元解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。(t2)25t44yt=tt5t,即t=时,y2t49(当t=2即x=1时取“=”号)。当5t评注:分式