高中数学讲义微专题50 等比数列性质（含等差等比数列综合题）.doc

微专题50等比数列性质一、基础知识1、定义:数列从第二项开始,后项与前一项的比值为同一个常数,则称为等比数列,这个常数称为数列的公比注:非零常数列既可视为等差数列,也可视为的等比数列,而常数列只是等差数列2、等比数列通项公式:,也可以为:3、等比中项:若成等比数列,则称为的等比中项(1)若为的等比中项,则有(2)若为等比数列,则,均为的等比中项(3)若为等比数列,则有4、等比数列前项和公式:设数列的前项和为当时,则为常数列,所以当时,则可变形为:,设,可得:5、由等比数列生成的新等比数列(1)在等比数列中,等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列(2)已知等比数列,则有①数列(为常数)为等比数列②数列(为常数)为等比数列,特别的,当时,即为等比数列③数列为等比数列④数列为等比数列6、相邻项和的比值与公比相关:设,则有:特别的:若,则成等比数列7、等比数列的判定:(假设不是常数列)(1)定义法(递推公式):(2)通项公式:(指数类函数)(3)前项和公式:注:若,则是从第二项开始成等比关系(4)等比中项:对于,均有8、非常数等比数列的前项和与前项和的关系,因为是首项为,公比为的等比数列,所以有例1:已知等比数列的公比为正数,且,则________思路:因为,代入条件可得:,因为,所以,所以答案:例2:已知为等比数列,且,则():由可求出公比:,可得,所以思路二:可联想到等比中项性质,可得,则,由等比数列特征可得奇数项的符号相同,所以答案:D小炼有话说:思路二的解法尽管简单,但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。例3:已知等比数列的前项和为,则实数的值为():由等比数列的结论可知:非常数列的等比数列,其前项和为的形式,所以,即答案:A例4:设等比数列的前项和记为,若,则():由可得:,可发现只有分子中的指数幂不同,所以作商消去后即可解出,进而可计算出的值解:,解得:所以答案:A例5:已知数列为等比数列,若,则的值为():与条件联系,可将所求表达式向靠拢,从而,即所求表达式的值为答案:C例6:已知等比数列中,则其前5项的和的取值范围是():条件中仅有,所以考虑其他项向靠拢,所以有,再求出其值域即可解:,设,所以答案:A例7:已知数列是首项不为零的等比数列,且公比大于0,那么“”是“数列是递增数列”的():在等比数列中,数列的增减受到的符号,与的影响。所以在考虑反例时可从这两点入手。将条件转为命题:“若,则数列是递增数列”,如果,则是递减数列,所以命题不成立;再看“若数列是递增数列,则”,同理,如果,则要求,所以命题也不成立。综上,“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件答案:D例8:在等比数列中,若,则():条件与结论分别是的前项和与倒数和,所以考虑设,则所以答案:B例9:已知等比数列中,各项都是正数,且,则():所求分式中的分子和分母为相邻4项和,则两式的比值与相关,所以需要求出。由条件,将等式中的项均用即可求出。从而解得表达式的值解:成等差数列将代入等式可得:,而为正项数列,所以不符题意,舍去答案:C例10:在正项等比数列中,,则满足的最大正整数的值为____________思路:从已知条件入手可求得通项公式:,从而所满足的不等式可变形为关于的不等式:,由的指数幂特点可得:,所以只需,从而解出的最大值解:设的公比为,则有解得:(舍)或所以所解不等式为:可解得:的最大值为答案:三、历年好题精选(等差等比数列综合)1、已知正项等比数列满足,则的最小值为()、已知等差数列的首项为,公差为,其前项和为,若直线与圆的两个交点关于直线对称,则()、(2016,内江四模)若成等比数列,则下列三个数:①②③,必成等比数列的个数为()、设等差数列的前项和为,且满足,,则,,…,中最大的项为()、(2016,新余一中模拟)已知等差数列的公差,且成等比数列,若,为数列前项和,则的最小值为()、(2015,北京)设是等差数列,下列结论中正确的是(),,,,则7、(2015,广东)在等差数列中,若,则______8、(2014,北京)若等差数列满足,则当______时,的前项和最大9、(2015,福建)若是函数的两不同零点,且这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则的值等于()、已知是等差数列,公差,其前项和为,若成等比数列,则()、(2014