两个极限的简单证明.docx

页眉两个重要的极限的证明引言:两个重要极限是高等数学极限理论中的经典内容,第一个重要极限sinx00= 1的证明,现行教材中通常采用在单位圆中利用面积关系构造不等式 cosxsinx1,x再用夹逼原理证明得到结论。用极限理sinx sinx论计算圆或扇形面积都涉及到 lim 1的结论运用,或者运洛比达法则证明极限 lim 1,要利x0x x0x用导数公式 sinxsinxcosx,而这个公式恰是利用lim 1,因此,这些方法都有循环证明的嫌疑;X0x第二个主要极限limx0e的证明,通常作法是,先考虑 x取正整数n而趋于的情形,设xxn x1,用牛顿二项式证明xn单调有界,再用单调有界数列必有极限的准则,证明数列nXn的极限存在,的证明。方法比较复杂,特别是有界性的证明需要一定的技巧,所以本文只对两个重要极限作一个简单lim沁1x0x证明:如图(a)作单位圆。当0<x<—时,显然有△OAD面积<扇形OAD2x先建立一个不等式,设b>a>0,于是对任一自然数 n有证明:.n1n1baba(n1)bn或bn1an1(n1)bn(ba),整理后得不等式an1bn[(n1)anb]。 (1)11令a=1+ ,b=1+,n1 n将它们代入(1)。由于(n1)anb1(n1)(1齐1)n(1 -) 1,n页眉1 1(1 -)n,这就是说{(1 -)n}为递增数列。n n1再令a=1,b=1+—代入(1)。由于(n1)anb2n故有(1丄)n1n11 1(n1)n(1 )一,故有12n 21n1(1去近,2(1不等式两端平方后有4 (1丄)",它对一切自然数2nn成立。联系数列的单调性,由此又推得数列{(11n-)}n是有界的。于是由单调有界定理知道极限1lim(1n是存在的。:lim(1l)xe。xx证明:所求证的极限等价于同时成立下述两个极限:lim(1x\1x-)e(1)x1xxlim(1 x)现在先应用2中数列极限lim(11-)ne,证明(1)式成立。设nx<n+1,则有1n1-及(1nnV(11)xx(1(3)作定义在[1,+)上的阶梯函数。f(x)