不定方程.doc

不定方程华南师大附中宋红军不定方程就是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数的取值范围受到某些限制(如整数、正整数等)的方程。下面我们主要结合不定方程的几种类型来讲解不定方程式的一般解法。常见的不定方程有以下几种类型:一、一次不定方程与方程组:定理1、二元一次不定方程ax+by=c(a,b,c为整数)有整数解的充要条件为:(a,b)|c;定理2、已知二元一次不定方程ax+by=c(a,b,c为整数),若(a,b)=1且就是方程ax+by=c的一个特解,则方程ax+by=c的解为(t为整数);定理3、n元一次不定方程a1x1+a2x2+…+anxn=c(a1,a2,…,an,c为整数)有整数解的充要条件为:(a1,a2,…,an)|c二:沛尔(Pell)方程1、形如x2-dy2=1(d为正整数)的不定方程称为沛尔方程;2、x=±1,y=0就是佩尔方程的一个平凡解;3、对于d>0且d不就是完全平方数的佩尔方程有无穷组整数解,若(x1,y1)就是佩尔方程的一个非平凡解,则(n=1,2,…)也就是这个佩尔方程的解。4、佩尔方程主要用于证明问题有无穷多个解。三:勾股不定方程x2+y2=z21、若x=a,y=b,z=c(a,b,c为正整数)就是方程x2+y2=z2的一组解,且(a,b)=1,则称这组解为方程的一组基本解;2、方程x2+y2=z2的任一组基本解(a,b,c)中,a,b中恰有一个数为偶数,c为奇数;3、方程x2+y2=z2的全部正整数解(x,y,z)可表示为:x=m2-n2,y=2mn,z=m2+n2,其中m,n满足m>n>0,且(m,n)=1,m,n为一奇一偶的任意整数;四:不定方程xy=zt不定方程xy=zt的正整数解可表示为:x=ac,y=bd,z=ad,t=bc,其中a,b,c,d为正整数且(c,d)=1;例题分析:例1、求不定方程3x+2y+8z=40的正整数解。解:∵ 3x=40-2y-8z=2(20-y-4z)∴ x为偶数∵ x,y,z为正整数∴ 8z<40∴ z<5当z=4时,3x+2y=8∴ x<3∴ x=2,y=1当z=3时,3x+2y=16∴ x<6∴ x=4,y=2或x=2,y=5当z=2时,3x+2y=24∴ x<8∴ x=6,y=3或x=4,y=6或x=2,y=9当z=1时,3x+2y=32∴ x<11∴ x=10,y=1或x=8,y=4或x=6,y=7或x=4,y=10或x=2,y=13∴ 原方程组的正整数解共有11组,分别为:、、、、、、、、、、例2、时钟的刻度盘(写有数字1,2,…,12的圆盘),以其中心为轴,固定在教室的黑板上,刻度盘可以绕轴转过30°的整数倍的任意角度。起初,在黑板上靠近刻度盘上的数字旁边的地方写上“0”,然后转动刻度盘若干次,每次转动停止后,都将刻度盘上的数加到靠近它旁边的黑板上所写的数字,这样就是否可以做到:(1)黑板上所写的数都就是1984?(2)黑板上所写的数除了一个之外,其余所写的数都就是1984?(3)黑板上所写的数除了两个之外,其余所写的数都就是1984?解:(1)题目要求做不到。每次旋转钟面加到黑板上所有数的与为:1+2+3+…+12=78即经地一次旋转,黑板上的各数之与能被78整除,所以经过n次旋转后黑板上的各数之与为78n,若黑板上所写的数都就是1984,则有78n=12×19