高三数学平面向量.doc.doc

第五章平面向量【知识网络】【学法点拨】向量是沟通代数与几何的重要工具,它在日常生活、, 向量及关表示运运共线不共几何坐标加减数乘数量三角形法则平行四边形坐标运算两点间距定比分平移实际应相垂直中点坐标概念建议: 1. 注意比较与分析. 向量的有关概念与我们学行、相等、乘积等等. 留心比较分析, 可防止学习过的有关知识对现学知识的负面影响. 2. 能画图时尽可能多画草图. 数离形时少直观, 形离数时欠入微. 向量具有数与形的双重特征, 加减法以三角形法则、平行四边形法则为背景, 平行、垂直都对应着一个方程, 数形结合考察问题,常常事半功倍. 3. 学会联想与化归. 向量知识是从日常生活、生产实践中抽象出来的, 求解向量综合题, 常需要适当联想, 并将应用问题数学化,复杂问题熟悉化、简单化. 第 29课向量的基本运算【考点指津】 1. 理解向量的概念, 掌握向量的几何表示, 了解共线向量、相等向量等概念. 2. 掌握向量的加法与减法, 会正确运用三角形法则、平行四边形法则. 3 掌握向量加法的交换律、结合律,并会用它们进行向量化简与计算. 4. 理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算. 【知识在线】 1.( 2a+ 8b )-( 4a- 2b) = 2 .在△ ABC 中, BC →=a, CA →=b ,则 AB →= 3 .设 a 表示向东 3km , b 表示向北偏东 30o走 3km ,则 a+ b 表示的意义为 4 .画出不共线的任意三个向量,作图验证 a- b- c=a-( b+ c). 5 .向量 a、 b 满足|a |=8 , |b |=10 ,求|a+ b| 的最大值、最小值. 【讲练平台】例 1 化简以下各式:① AB →+ BC →+ CA →;② AB →- AC →+ BD →- CD →;③ OA →- OD →+ AD →;④ NQ →+ QP →+ MN →- MP →.结果为 0 的个数为() 分析题设条件中多处涉及首尾相接的两个向量求和以及同起点的两个向量相减, 对此, 我们可以运用向量加减的定义进行合并, 当最终形式出现两相反向量之和或相等向量之差时,结果为 0. 答 D. 点评本题巩固了向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识. 求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理, 必要时也可化减为加, 减低出错律. 注意: AB →=- BA →, + CB →= AB →. 变题作图验证 A 1A 2→+ A 2A 3→+ A 3A 4→+…+ A n -1A n→= A 1A n→( n≥ 2, n∈ N). 例 2 如图,在Δ ABC 中, D、 E为边 A BC DE AB 的两个三等分点, CA →=3 a, CB →=2 b ,求 CD →, CE →. ,可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解. 如已知 CA →、 CB →可求 AB →, 根据 AD →、 AE →、 AB →均为共线向量, 故又可求得 AD →、 DE →、.由 CA →、 AD →又可求 CD →,由 DE →、 CD →又可求 CE →. 解 AB →= AC →+ CB →=- 3a +2 b, 因 D、 E为 AB →的两个三等分点, 故 AD →=3 1 AB →=- a+3 2 b= DE →, CD →= CA →+ AD →=3 a- a+3 2 b =2 a+3 2 b, CE →= CD →+ DE →=2 a+3 2 b- a+3 2 b=a +3 4 b. 点评三角形中两边对应向量已知,可求第三边所对应的向量. 值得注意的是,向量的方向不能搞错. 当向量运算转化成基底向量的代数式运算时, 其运算过程可仿照多项式的加减运算进行. 例 3 已知 A、 B、 C、 P 为平面内四点,求证: A、 B、 C 三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数 m、 n,使 PC →=m PA →+n PB →, 且 m+n=1 . 分析 A、 B、 C 三点共线的一个充要条件是存在实数λ, 使得 AC →=λ AB →.很显然,题设条件中向量表达式并未涉及 AC →、 AB →, 对此, 我们不妨利用 PC →= PA →+ AC →来转化, 以便进一步分析求证. 证明充分性,由 PC →=m PA →+ n PB →, m+ n=1 ,得 PA →+ AC →=m PA →+ n( PA →+ AB →) =( m+ n) PA →+ n AB →= PA →+ n AB →, ∴ AC →=n AB →. ∴ A、