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浅谈平面几何中辅助线的添加方法及其教学上的运用
平面几何是中学数学的一个重要组成部分,证明是平面几何的重要内容。许多初中生对几何证明题感到困难,尤其是对需要添加辅助线的证明题,往往束手无策。在这里我们介绍"添加辅助线"在平面几何中的运用。
为了证明的需要,在原来图形上添画的线叫做辅助线。辅助线通常画作虚线。关于添加辅助线的问题,这是初中生学面几何教学中的一个重点。但是由于诸多方面的因素的影响,许多学生在完成几何作业或考试答卷中常常出现辅助线的作法和叙述上的错误。
例如:如图,已知⊙O的半径为5㎝,
弦AB∥CD,AB=6㎝,CD=8㎝。
求:AB和CD的距离。
这道题的辅助线如图,可是在作业中同学却出现了如下种种叙述方法:
1、 作AB和CD的垂线段MN
2、 过O点作直线MN垂直AB和CD
3、 过O点作AB和CD的垂直平分线MN
4、 作OM⊥AB,并延长交CD于N
5、 连结AB,CD的中点MN,并使之通过O点
6、 连结MN,使MN⊥AB,MN⊥CD
经过分析,几种叙述方法都是错误的。而这种种错误,归纳起来大致有以下2个原因:1、不会使用几何作图的规范用语;2、违反了几何作图的基本要求。那么,如何解决同学们在作辅助线时出现的问题呢?
1、教学中注意培养学生的几何语言的表达能力
从学生的开始学习几何时就应引入和应用规范用语,突出几何语言,特别在学习尺规作图时,更就突出作图规范用语和训练,否则就会出现前文中出现的辅助线作法的叙述上的错误。下面介绍几种常用的辅助线的正确叙述方法:
(1)连结:如图(1)连结AC、BD交于O点
(2)作平行线:如图:(2)过D点作DG∥AE,交BC于G
(3)作垂线:如图(3)分别过A、D两点作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E、F(学生容易丢掉)
(4)延长:如图(4)延长AC交⊙O于F,连结DF
2、教学中注意加强添加辅助线的练习训练
(1)关于添加辅助线的问题。这是初中学生学面几何的难点之一,要在教学中循序渐进训练学生。可以通过精选例题,让学生开阔眼界,灵活思路,掌握规律,提高能力。在添辅助线时,必须使学生明确辅助线要添得合理,必须符合基本作图要求。如证明:"三角形内角和定理",要证明这个定理应先以CA为一边,在△ABC外部作∠ACE=∠BAC,再延长BC,然后只要证明∠ECD=∠ABC就行了。根据这样分析,故先作BC延长边CD,并在△ABC外部以CA为一边,CE为另一边作∠ACE=∠BAC,然后即可证∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。此外还可以让学生掌握多种方法添辅助线。
(2)教学时,要注意强调添加辅助线是手段,而不是目的,它是沟通已知和未知的桥梁,不能见到题目,就无目的地添加辅助线。一则没用、二则辅助线越多,图形越乱,反而妨碍思考问题。同时,还应注意常见的辅助线的教学,使学生体会到许多辅助线的添加是有规可循的,从而进一步提高分析问题能力。不断引导学生总结一些带有规律性结论,有助于拓宽思路,丰富联想,而达到融会贯通的目的。
3、教学中注意培养学生了解几何问题的思考方法,防止添加辅助线的盲目性
很多学生不能够掌握正确的思考方法,常常是不着边际的添加一些不恰当的辅助线,不仅不能有助于解题,反而使图形复杂化,影响了对习题的解