用放缩法证明不等式方法和技巧.doc

.(4.()5.(待学)6.(待学):即欲证,欲寻找一个(或多个)中间变量,使,由到叫做“放”,由到叫做“缩”.常用的放缩技巧(1)若(2),,,(3)(4)(5)若,则(6)(7)(因为)(7)或(8)等等。(一).先求和再放缩:,求证:(),数列的前项和为,求证:(二).先放缩再求和::(1)求证:当时,;(2)试探究:当时,是否有?,求证:(1)(2),求证(1)(2),,求证:,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以表示第个图的蜂巢总数.(1)试给出的值,并求的表达式(不要求证明);(2)证明:.9.(10广州)设为数列的前项和,对任意的N,都有为常数,且.(1)求证:数列是等比数列;(2)设数列的公比,数列满足,N,求数列的通项公式;(3)在满足(2)的条件下,求证:.(010深圳)在单调递增数列中,,,且成等差数列,成等比数列,.(1)分别计算,和,的值;(2)求数列的通项公式(将用表示);(3)设数列的前项和为,证明:,.:.:<<:(1)∵当时,∴=又∵∴∴当时,.(2)∵∴=当时,要只需即需,显然这在时成立而,当时显然即当时也成立综上所述:当时,:∵∴∴∴.………………10分证法二:,下同证法一.…………10分证法三:(利用对偶式)设,,,也即,所以,也即,又因为,………………10分证法四:(数学归纳法)①当时,,命题成立;②假设时,命题成立,即,则当时,即即故当时,,对一切非零自然数,不等式②成立.………………10分②由于,所以,………………:(法一)………………12分(法二)(1)当,显然成立…………5分(2)假设时,………………7分即当时,不等式成立,由(1)(2)可得原不等成立。…………:(法一)………………12分(法二)(1)当,显然成立…………5分(2)假设时,………………7分即当时,不等式成立,由(1)(2)可得原不等成立。…………:当时,.当时..故综上,:⑴由于因此,当时,,所以.(注:直接给出结果也给分)⑵当时,..(1)证明:当时,,,.即.∵为常数,且,∴.∴数列是首项为1,公比为的等比数列.(2)解:由(1)得,,.∵,∴,即.∴是首项为,公差为1的等差数列.∴,即(N).(3)证明:由(2)知,则.…所以,当时,,:(1)由已知,得,,, .(2)(证法1),,,……;,,,…….∴猜想,,,以下用数学归纳法证明之.①当时,,,猜想成立;②假设时,猜想成立,即,,那么,