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§ (1) 单叶双曲面
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究解决几何问题,其主要内容可示意如下:
第一章
点
坐标
轨迹
方程
第二章
曲面
曲线
普通
参数
平面
与直线
第三章
方程与关系
一般曲面
第四章
常见曲面和二次曲面
第五章
二次曲线的一般理论
一般曲线
一、概念
在空间直角坐标系中,由方程
所表示的曲面,叫做单叶双曲面, 此方程叫做单叶双曲面的标准方程.
方程
与
表示的曲面也是单叶双曲面.
二、性质
1. 对称性
中心:
坐标原点(1个);
主轴:
x轴、y轴和z轴(3条);
主平面:
xOy面、yOz面和zOx面(3个).
2. 截距和顶点
x=0, y=0 → z无解,
则z 轴上没有顶点;
x=0, z=0 → y = ±b,
则y轴上有顶点:
z=0, y=0 → x = ±a,
则x轴上有顶点:
(0,±b ,0)(2个);
(±a,0,0)(2个).

(1)
: 双曲线
实轴为y轴,
虚轴为z轴;
: 双曲线
实轴为x轴,
虚轴为z轴;
(2)
(3)
: (腰椭圆).

无论h取何值,此方程组总表示在平面:
上的椭圆,
它的两半轴为:
与
此时椭圆的两轴端点
(± ,0, h)
与
(0, ± , h)
分别在两条主截线
(双
曲线)上,
且所在平面与腰椭圆平行.
结论:单叶双曲面可以看成是由一个椭圆变动其大小和位置而产生的,在变动中这个椭圆始终保持:所在平面平行于xOy面,且两轴的端点分别沿着yOz和zOx面上的主截线(双曲线)滑动。
三、图形
根据以上讨论,可画出单叶双曲面的图形如下:
主双曲线(yoz面)
腰椭圆(xoy面)
主双曲线
(xoz面)
主双曲线
(yoz面)
主双曲线
(xoz面)
腰椭圆
(xoy面)
四、总结
单叶双曲面的图形可由一族椭圆生成,由这个无界的曲面可联想到宇宙的广袤。因此,在美国有一座天文馆,就建成单叶双曲面的形状,其设计师就是由彗星的椭圆、双曲线轨道联想到这幅探索
宇宙空间的精美图画。这充分表现了设计者极高的数学素质和审美意识。“抽象的几何图形,一旦纳入审美的艺术范畴,会带来特殊的美感,因此,在
观察几何图形时应重视美的联想。”(摘自“解析几何教学中的审美教育”,马世祥等,甘肃高师学报,2005, )
作业:P165习题3,4,5.