复变函数与积分变换公式.docx

复变函数复习提纲(一)复数的概念复数的概念:zxiy,x,y是实数,xRez, :)模:z x2y2;2)幅角:在z0时,矢量与x轴正向的夹角,记为Argz(多值函数);主值argz是位于(,]中的幅角。3)argz与arctan—之间的关系如下:x0,argzarctany-x4)5)y0,0,argz0,argzyarctan——x三角表示:zzcosisin,其中argz;注:中间——定是“ +”号。指数表示:zzei,其中argz。:右Z1 x-1iy1,Z2 X2 iy2,则Z1Z2X1X2i*:1)若Z1X1 iy1,Z2X2 iy2,则Z1Z2W2 yyiX2%人y;Z1x1 iy1 为iy1 X2 iy2x1x2ym:%X2y2X1(二)复数的运算y2X2 iy2x2 iy2 x2 )若zz(cosisin)zei,则znnz(cosn isinn)znein。2)若ZZ(COSisin)ze,则izn2kcos—nisin—(k0,1,2Ln1)(有n个相异的值)(三):wZ,•复初等函数1)指数函数:ezexcosyisiny,在z平面处处可导,处处解析;且注:ez是以2i为周期的周期函数。(注意与实函数不同)3)对数函数: Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2L)(多值函数)主值:InzInziargz。(单值函数)Lnz的每一个主值分支Inz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析,且lnz注:负复数也有对数存在。(与实函数不同)3)乘幕与幕函数:abebLnab(a0);zebLnz(z0)注:在除去原点及负实轴的z平面内处处解析,且bzb1。iz iz iz iz4)三角函数:sinz亍,cosz丁,©sinz,,ctgzcoszcoszsinzsinz,cosz在z平面内解析,且 sinzcosz,coszsinz注:有界性sinz1,cos1不再成立;(与实函数不同)z z z z,,,, ee ee4)双曲函数shz ,chz22shz奇函数,chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析,且 shzchz,chzshz。(四)解析函数的概念•复变函数的导数「一口 fz0 zfz0)点可导:fzq=lim- 一;z0 z2)区域可导:fz在区域内点点可导。•解析函数的概念z在Zo点解析;1)点解析: fz在z0及其z0的邻域内可导,称2)区域解析: fZ在区域内每一点解析,称fZ在区域内解析;3)若f(z)在Z0点不解析,称Z0为fz的奇点;3•解析函数的运算法则:解析函数的和、差、积、商(除分母为零的点)仍为解析函数;解析函数的复合函数仍为解析函数;(五),yivx,y在zxiy可导ux,y和vx,y在x,y在D内可微,且满足D条件:u vyxux,y和vx,y在x,y可微,且在x,y处满足CD条件:u vx y此时,有fzu・vi-:fzux,yivx,y在区域内解析此时fz若ux,y,vx,y在