极限计算方法及例题.docx

极限计算方法总结〈〈高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是〈〈高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难, 而极限学的好坏直接关系到〈〈高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结, 然后通过例题给出求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、:(各种类型的极限的严格定义参见〈〈高等数学》函授教材,这里不一一叙述)说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的b极限严格定义证明,例如:lim—n 0,nlim(3x1)5;limqn妾运用,而不需(2)专的面求极限时,(£中提到的简廊而乍方再用极限严格定义证明。(x),limg(x)都存在且有(1)lim[f(x)g(x)]AB(2)limf(x)g(x)AB(3)lim上也-,(此时需Bg(x)B,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,0成立)说明:极限号下面的极限过程是一致的;不能用。两个重要极限同时注意法则成立的条件, 当条件不满足时,sinx』(1)lim 1x0xlim(1x1、xx) e1(2)lim(1x)xe-x0 ,说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。1 x例如:lim^^3^ 1,lim(1 2x)2xe,lim (13)3 e;等等。x03x x0 x x等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是 0)。定理3当x0时,下列函数都是无穷小(即极限是 0),且相互等价,即有:x〜sinx〜tanx〜arcsinx〜arctanx〜ln(1x)〜ex1。说明:当上面每个函数中的自变量 x换成g(x)时(g(x)0),仍有上面的等价3x 2关系成立,例如:当x。时,e1〜3x;ln(1x)〜x。定理4如果函数f(x),g(x),f〔(x),g〔(x)都是x x。时的无穷小,且f(x)〜f〔(x) f(x)f1(x),g(x)〜g1(x),则当lim 存在时,lim 也存在且等于xx。g〔(x) XX。g(x)f1(x) f(x)f1(x)f(x)limi',即lim— =limMoxx0g〔(x) xX。g(x)XX。g〔(x)洛比达法则定理5假设当自变量x趋近丁某一定值(或无穷大)时,函数f(x)和g(x)满足:f(X)和g(x)的极限都是0或都是无穷大;f(x)和g(x)都可导,且g(x)的导数不为0;f(x)………,lim 存在(或是无分大);g(x)f(x) f(X)….f(x)f(x)则极限lim 也一定存在,且等于lim——,即lim=^=lim——。g(x) g(x) g(x)g(x)说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件( 1)是否满足,即验证所求极限是否为“-”型或“一”型;条件(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕0后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件。连续性定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果 X0是函数f(X)的定义去间内的一点,则有limf(x)f(x°)。(准则1)单调有界数列必有极限。定理8(准则2)已知{Xn},{yn},{Zn}为三个数列,且满足:(1)VnXnZn,(n1,2,3,)limynna,limZnn则极限limXn一定存在,且极限值也是an、求极限方法举例用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限,即limxna。n例1lim3x12x1x1解:原式=lim一(―3X—1)2—七X1(x1)(、3x12)注:本题也可以用洛比达法则。例2lim:、n(一n2 “n1)nlimx13x3(x1)(Mx12)解:原式=limn、n[(n2)(n1)]分子分母同除以 nlimn例3limn(1)n3n2n 3n解:(定理6)求极限12_x例4limxex12二解:因为x02是函数f(x)xe的一个连续点,1所以原式=22e2 4揭。:原式=lim —lxm02x2sin2 112(-)2 62x03x注:本题也可以用洛比达法则。2例6lim(13sinx尸x016sinxlim[(13sinx)^^]^^x016sinx解:原式=lim(13sinx)F^x0八 n2n例7lim( )nn1解:原式=lim(1nn13n3)~Fn1lim[(