高中平面向量知识点总结材料.docx

平面向量1、向量的定义:既有大小又有方向的量叫向量2、向量的表示方法(1)几何表示:以A为起点,以B为终点的有向线段记作,如果有向线段表示一个向量,通常我们就说向量.(2)字母表示:印刷时粗黑体字母a,b,c…向量手写时带箭头的小写字母,…3、向量点的长度(模)向量的大小叫做向量的长或模,记作||、||4、零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行=||=0单位向量:模为1个单位长度的向量向量为单位向量||=1平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量称为平行向量,也叫共线向量记作∥5、相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为即大小相等,方向相同6、对于任意非零向量的单位向量是||.7、向量的加法(1)三角形法则设,则+==对于零向量与任意向量的和有(2)平行四边形法则已知两个不共线的向量,,做,则A、B、D三点不共线,以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量=+.当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,:,但这时必须“首尾相连”.8、向量加法的运算律(1)交换律+=+(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c)9、向量的减法即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量图:10、相反向量:与长度相等、方向相反的向量,(1)=,即与互为相反向量;(2)若、是互为相反向量,则=,=,+=;(3)+()=()+=;(4)零向量的相反向量仍是零向量(5)对于用起点和终点表示的向量,则有=—BA,即和-BA互为相反向量11、已知向量α,b,则||α|-|b||≤α±b≤|α|±|b|12、向量数乘运算实数λ与向量的积是一个向量,记作λ,它的长度与方向规定如下:(1);(2)当时,与同向当时,与异向当或=时,,方向是任意的13、向量数乘的运算律(1)λ(μ)=(λμ)(2)(λ+μ)=λ+μ(3)λ(+)=λ+λ(4)(—λ)=—(λ)=λ(—)λ(—)=λ-λ14、向量共线判定定理当向量≠,对于向量,如果有一个实数,使=,(≠)共线有且只有一个实数,使得=.15、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量、以及任意实数λ、μ1、μ2恒有(μ1±μ2)=μ1+μ216、平面向量的基本定理如果是一个平面的两个不共线向量,那么对这一平面的任一向量,有且只有一对实数使:,其中不共线的向量叫做表示这一平面所有向量的一组基底17、两向量夹角θ围[0°~180°]θ=0°同向图θ=180°同向θ=90°垂直,记为┴18、平面向量的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量19、平面向量的坐标表示(1)直角坐标在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面的的一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y使=xi+yj,则把有序数对(x,y)叫做向量的坐标。(2)坐标表示在向量的直角坐标中,x叫做在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标,=(x,y)叫做向量的坐标表示。(3)在向量的直角坐标中,i=(1,0)j=(0,1)=(0,0)20、若和实数λ(1)=(x1,y1)若,则=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)21、向量平行条件(1)若,(2)若,如果不平行于坐标轴,即x2≠0y2≠0,则//x1x2=y1y2即两个向量平行的条件是成比例(注意此时x2·y2≠0)22、向量的数量积已知两个非零向量与,它们的夹角为,则·=︱︱·︱︱cos其中是与的夹角,︱︱cos叫做向量在方向上的投影。规定23、数量积的几何意义·等于的长度︱︱与在方向上的投影︱︱cos的乘积24、与都是非零向量,它们的夹角为(1)·=0(2)同向时·=︱︱·︱︱反向时·=—︱︱·︱︱(3)或︱︱=·=2(4)cos=·︱︱·︱︱(5)|·|≤︱︱·︱︱25、向量数量积的运算律(1)交换律:(2)结合律:(3)分配律:特别注意:(1)结合律不成立:why?前者表示与共线的向量,后者表示与向量c共线的向量,而与c不一定共线。(2)消去律不成立不能得到(3)=0不能得到=或=26、平面向量的数量积的坐标运算:已知两个向量,则·=27、垂直设两个非零向量,则⊥·=O28、设=(x,y),则︱︱=x2+y2设A=(x1,y1)B=(x2,y2),则=(x2-x1)2+(y2-y1)229、已知两个非零向量与,作=,=,则∠AOB=()叫做向量与的夹角cos==(可用此公式求两向量夹角)当<0,ϵ(π2,π];当>0,ϵ[0,π2);当=0,=π2当且仅当两个非零向量与同方向时,θ=00,当且仅当与反方向时θ=180030、向