含参不等式恒成立问题中-求参数取值范围一般方法.docx

学习必备 欢迎下载含参不等式恒成立问题中,求参数取值范围一般方法恒成立问题是数学中常见问题,也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中,已知一个变量的取值范围,求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。一、 分离参数在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若a ³ f (x )恒成立,只须求出 f (x )max,则 a ³ f (x )max;若 a £ f (x )恒成立,只须求出 f (x )min,则 a £ f (x ),转化为函数求最值。例 1、已知函数 f (x ) = lg ç x +  - 2 ÷ ,若对任意 x Î[2, +¥)恒有 f (x ) > 0 ,试确定minaxæ öè øa 的取值范围。解:根据题意得: x + a - 2 > 1 在 x Î[2, +¥)上恒成立,x即: a > - x2 + 3x 在 x Î[2, +¥)上恒成立,(x ) = - x2 + 3x ,则 f (x ) = - æç x - 3 ö÷2 + 9设 fè 2 ø  4当 x = 2 时, f (x )= 2  所以 a > 2max在给出的不等式中,如果通过恒等变形不能直接解出参数,则可将两变量分别置于不等式的两边,即:若 f (a ) ³ g (x ) 恒成立,只须求出 g (x )max,则f (a) ³ g( x)max,然后解不等式求出参数 a 的取值范围;若 f (a ) £ g (x )恒成立,只须求出 g (x )min,则 f (a ) £ g (x )min,然后解不等式求出参数 a 的取值范围,问题还是转化为函数求最值。例 2、已知 x Î (-¥,1]时,不等式1 + 2x + (a - a2 )× 4x > 0 恒成立,求 a 的取值范围。]解:令 2x = t , x Î (-¥,1] \t Î (0 , 2 所以原不等式可化为: a2 - a <t + 1t 2,要使上式在 t Î (0,2 ]上恒成立,只须求出 f (t ) =t + 1t 2在 t Î (0,2 ]上的最小值即可。t + 1 æ 1 ö 1 æ 1 1 ö2 1=ç   ÷  +   =ç   + ÷  -Πꠠ , +¥ ÷f (t ) =t 2 è t ø  t è t 2 ø  421 é 1   öt  ë 2   ø\ f (t )min= f (2) =3           3     1     3\ a 2 - a <   \-  < a <4           4     2     2(1)  当 -  a< -2 即:a > 4 时, f (x )= f (-2) = 7 - 3a ³ 0  \ a £  又 a > 4 所以学习必备 欢迎下载二、分类讨论在给出的不等式中,如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边,则可利用分类讨论的思想来解决。例 3、若 x Î [-2,2 ]时,不等式 x2 + ax + 3 ³ a 恒成立,求 a 的取值范围。解:设 f (x ) = x2 + ax + 3 - a ,则问题转化为当 x Î [-2,2 ]时, f (x )的最小值非负。min72 3a 不存在;(2)  当   -2 £   £