高三数学不等式的证明课件.ppt.ppt

不等式的证明复习回顾双向沟通练习总结数学组马迪证明不等式的主要依据 1 a-b>0 a>b,a-b<0 a<b 2不等式的性质 3几个重要不等式(1)a 2≥ 0(a ∈ R) (2)a 2 +b 2≥ 2ab(a,b ∈ R) (3) ≥(a,b ∈ R,且 a>0,b>0) ?? 2 ba? ab (4) ≤≤≤(a,b ∈ R,且 a>0,b>0) (5)a 2 +b 2 +c 2≥ ab+bc+ac ba ab ? 2 ab 2 ba?2 22ba?不等式的证明方法主要有: ?比较法?综合法?分析法?反证法、?换元法、?放缩法?判别式法、?构造法典例分析例1 、已知: a, b ∈ R 求证: a 2 +b 2 +ab+1>a + b 证法一: 2(a 2 +b 2 +ab+1)-2(a+b) =a 2 +b 2 +2ab+a 2 -2a+1+b 2 -2b+1 =(a+b) 2 +(a-1) 2 +(b-1) 2 >0. ∴a 2 +b 2 +ab+1 ﹥ a+b. 2 1?b4 33 23 2证法二: a 2 +b 2+ ab +1-a-b = a 2 +a(b-1)+ b 2 -b+1 把a作变元 ,Δ=(b-1) 2 -4(b 2 -b+1) =-3b 2 +2b-3 =-3(b- ) 2- < 0. 3 13 8∴a 2 +b 2+ ab +1 ﹥ a+b. 证法三: a 2 +b 2+ ab +1-a-b = a 2 +a(b-1)+ b 2 -b+1 =(a+ ) 2 + (b- ) 2+ >0. 2 1?b4 33 23 2∴a 2 +b 2+ ab +1 ﹥ a+b. 例2、已知 a,b,c,d 都是实数, 且a 2 +b 2 =1,c 2 +d 2 =1, 求证:∣ ac+bd ∣≤ 1 huan zong bi fen 证法 1:(换元法) a 2 +b 2 =1,c 2 +d 2 =1. 可设 a= cos α,b =sin α, c= cos β,d =sin β,∣ ac+bd ∣=| cos α cos β+ sin α sin β|=|cos( α-β)|≤1. 证法 2:( 综合法)∣ ac+bd ∣≤∣ ac∣+∣ bd ∣≤ + = =1 2 2222dcba??? 2 22ca?2 22db?