作加速运动宇宙飞船问题中的瞬时惯性系(高端物理竞赛题)20110821教案.doc

作加速运动飞船问题中的瞬时惯性系(物理竞赛高端题)【问题】宇宙飞船从地球出发沿直线飞向某恒星,恒星距地球(光年)。对每一瞬时都与飞船连接在一起的参照系来讲,前一半路程作匀加速直线运动,加速度,后一半路程以数值相同的加速度作匀减速直线运动。试问:在飞船上测量整个旅程经历了多少时间?计算时只取一级近似。【分析】问题涉及到两个参照系:与地球相连的惯性系以及与飞船相连的非惯性系;基于飞船相对于速度时刻在变化,因此,不是一个惯性系,但是可以将等价地看作一系列“瞬时惯性系”的组合,也就是说,在每一瞬刻的极短时间内,可看作相对于地球作匀速直线运动,因此,在此极短时间内,可看作惯性系,这种对某一瞬刻的极短时间内的准惯性系称为“瞬时惯性系”,这样,狭义相对论的公式可用。这是“微元法”在相对论中的妙用。设在“飞船时刻”,飞船相对于地球的速度为,也即相对于的运动速度为,此时飞船相对于的速度。经极短时间后,飞船相对于原来的的速度增量为,相应的加速度为。对地球惯性系而言,与相对应的速度增量为。利用速度变换公式可以找到与之间的关系,进而确定飞船在地球惯性系中加速度与在飞船惯性系中加速度之间的关系,通过积分运算可求得全程所需的地球时间,再利用时间膨胀公式进而求得相应的飞船时间。综上所述,当动参照系为一非惯性系时,无法直接用仅对两惯性成立的的狭义相对论公式,但是可以将全旅程分割成无限小的单元的组合,在每一无限小单元中,动参照系可以看作惯性系—瞬时惯性系,可以应用狭义相对论公式处理,然后再对每一单元进行累加,也就是说积分就可求得全旅程需要的时间了!【解】设在地球时刻,飞船的速度为,因为系与此时的飞船相连,故动系中飞船的速度为,同时,相对于地球系的速度也是(即速度变换公式中的)。经时间后,的增量为,即在中飞船的速度变为,相应地在系中飞船的速度增量为,因此,其速度变为。由速度变换公式知,注:速度变换公式:,今,于是得(1)式或,根据题意,只保留一级无穷小量,得由时间膨胀公式得由(2)、(3)式得由加速度的定义知:分别为在系(飞船系)与系(地球系)中的加速度。这样就求得了加速度的变换公式:值得提醒的是,上式中为一恒量,但却不是一个恒量。为求得全旅程所需的时间,改写(5)式,对(6)式两边积分,并注意到初始条件:,得为求出上式左边的积分,作变量置换:令,则,提醒一下,为表述简便起见,式中的既是积分变量,又是积分上限,于是注意到,同时,所以,于是有由(9)式不难解得因为,所以(10)可改写为再次对上式两边积分,并利用初始条件:,得左边积分=,右边积分为,于是有由上式可以解出但