均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)-不等式均值公式.docx

均值不等式归纳总结1.(1)若a,bR,则ab22ab2(2)若a,bR,则2b2aab(当且仅当ab2时取“=”)2.(1)若*aba,bR,则ab2(2)若*a,bR,则ab2ab(当且仅当ab时取“=)”(3)若*a,bR,则2abab(当且仅当ab时取“=”),则x1x2(当且仅当x1时取“=”)若x0,则x1x2(当且仅当x1时取“=”)若x0,则x12x12x1-2即或(当且仅当ab时取“=”)xxxab(当且仅当ab时取“=”),则2baababab若ab0,则22-2bababa即或(当且仅当ab时取“=”),bR,则(22a(当且仅当ab时取“=”)b2ab)22『ps.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一:求最值例1:求下列函数的值域1(1)y=3x2+2x2(2)y=x+1x1解:(1)y=3x2+2x21≥23x2·2x2=6∴值域为[6,+∞)(2)当x>0时,y=x+1x1≥2x·x=2;1x当x<0时,y=x+1x=-(-x-1)≤-2x·x=-2∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)解题技巧技巧一:凑项例已知5x,求函数421yx44x5的最大值。解:因4x50,所以首先要“调整”符号,又(42)1x4x5不是常数,所以对4x2要进行拆、凑项,xx,42154135,540yxx44x554x231当且仅当54x154x,即x1时,上式等号成立,故当x1时,ymax1。评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。技巧二:,求yx(82x)的最大值。解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值,故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。当,即x=2时取等号当x=2时,yx(82x)的最大值为8。评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。变式:设30x,求函数y4x(32x)的最大值。23解:∵0x∴32x0∴y24x(32x)22x(32x)22x322x292当且仅当2x32x,即33x0,时等号成立。42技巧三:(x1)x1的值域。解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。当,即时,21)459yx((当且仅当x=1时取“=”号)。x1技巧四:换元解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。22(t1)7(t1+10t5t44)y=t5ttt当,即t=时,4y2t59(当t=2即x=1时取“=”号)。t评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将A式子分开再利用不等式求最值。即化为ymg(x)B(A0,B0)g(x),g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数f(x)xax的单调性。例:求函数y2x2x54的值域。解:令24(2)xtt,则y2x2x54211x4t(t2)2tx4因1t0,t1t,但t1t解得t1不在区间2,,故等号不成立,考虑单调性。因为yt5y。21t在区间1,单调递增,所以在其子区间2,为单调递增函数,故所以,所求函数的值域为52,。,并求取得最小值时,x的值.(1)231xxy,(x0)x(2)1y2x,x3x3(3)1y2sinx,x(0,),求函数yx(1x)的最大值.;,求函数yx(23x),:“和”到“积”是一个缩小的过程而,且3定值,因此考虑利用均值定理a3b求最小值,解:a3b3和都是正数,a3babab3≥233236当3a3b时等号成立,由ab2及3a3b得ab1即当ab1时,:若logxlogy2,,y的值技巧六:整体代换多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。2:已知x0,y0,且191,求xy的最小值。.:x0,y0,且19xy1,xy19xy292xy12xyxy故xy。min12错因:解法中两次连用均值不等式,在xy2xy等号成立条件是xy,在1992xyxy等号成立条件是19xy即y9x,取等号