复合函数单调性(讲解 练习).docx

'.课题:函数的单调性(二)复合函数单调性北京二十二中 . . .教学过程设计师:这节课我们将讲复合函数的单调区间,下面我们先复习一下复合函数的定义 .生:设y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B,若AB,则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数,: .(教师把所学过的函数均写在黑板上,中间留出写答案的地方,当学生回答得正确时,由教师将正确答案写在对应题的下边 .)(教师板书,可适当略写 .)例 求下列函数的单调区间 . y=kx+b(k≠0).解 当k>0时,(-∞,+∞)是这个函数的单调增区间;当 k<0时,(-∞,+∞)是这个函数的单调减区间 . y=x(k≠0).解 当k>0时,(-∞,0)和(0,+∞)都是这个函数的单调减区间, 当k<0时,(-∞,0)和(0,+∞)都是这个函数的单调增区间 . y=ax2+bx+c(a≠0).b b解 当a>1时(-∞,- 2a)是这个函数的单调减区间, (-2a,+∞)是它的单调b b增区间;当 a<1时(-∞,- 2a)是这个函数的单调增区间, (-2a,+∞)是它的单调减区间; y=ax(a>0,a≠1).解 当a>1时,(-∞,+∞)是这个函数的单调增区间,当 0<a<1时,(-∞,+∞)是这个函数的单调减区间 . y=logax(a>0,a≠1).解 当a>1时,(0,+∞)是这个函数的单调增区间,当 0<a<1时,(0,+∞):我们还学过幂函数 y=xn(n为有理数),由于n的不同取值情况,可使其定义域分几种情况,比较复杂,我们不妨遇到具体情况时,再具体分析 .2师:我们看看这个函数 y=2x+2x+1,它显然是复合函数,它的单调性如何 ?师:我猜你是这样想的, 底等于2的指数函数为增函数, 而此函数的定义域为 (-∞,+∞),所以你就得到了以上的答案 .这种做法显然忽略了二次函数 u=x2+2x+1的存在,没有考虑这个二次函数的单调性 .咱们不难猜想复合函数的单调性应由两个函数共同决定, .(板书)引理1 已知函数 y=f[g(x)].若u=g(x)在区间(a,b) 上是增函数,其值域为 (c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d) 上是增函数,那么, 原复合函数 y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增;.'.函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b.),u2=g(x)即u<因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,所以g(x1)<g(x),记u1=g(x1221u2,且u1,u2∈(c,d).上是增函数,所以f(u)<f(u),即f[g(x)]<f[f(x)],因为函数y=f(u)在区间(c,d)1212故函数y=f[g(x)]在区间