高等数学PPT邱茂路1-课件（PPT演示稿）.ppt

第一章第一章函数函数第一章第一章函数函数第一章第一章函函数数由于事物之间的相互联系,常常可以用函数来表达,因此,函数概念就显得非常重要。事实上,函数是数学研究的基本对象, 各种各样的数学问题,实质上是在研究各种各样的函数的各种各样的性质。本章介绍与函数概念有关的一些术语,主要有:函数、定义域值域、反函数、复合函数、隐函数。简单介绍了反三角函数,以及函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性四条基本性质。本章的内容大部分是中学已经学过的,但表示方式可能是新的。 函数的概念函数的概念 反三角函数反三角函数 函数的基本性质函数的基本性质第一章第一章函数函数§ §1. 1 1. 1 函数的概念函数的概念 函数的概念函数的概念设X,Y为两个集合,若对?x?X,按照对应规则 f,有Y中唯一的元素 y与之对应,则称对应规则 f为从 X到Y的一个函数,记做 yxfYXf?:,:?称X为函数的定义域, 记为 D f,即D f =X。可用图 -1表示为: XY图 -1 )(xf)(af xa 函数概念要反映的,是两个集合 X, Y的元素之间的对应关系。定义定义 : : 第一章第一章函数函数§ §1. 1 1. 1 f是由 X到Y的函数,它的定义域是 X,它的值在 Y中。符号表示: YXf?:符号表示: yxf?: f 映x到y。 f 映x到y常记为 y = f (x),此时也说 x在f下的象是 y,并称 x为自变量, y为因变量。对于 X的任意子集 A,A中所有元素的象的集合?? yafXAaYyy?????)(,,|叫做 A在f下的象,记作 f (A)。特别, X在f下的象 f (X)称为函数的值域。第一章第一章函数函数§ §1. 1 1. 1 -2给出 X到Y的一个函数关系,其中在微积分课程中,集合 X,Y通常为数集,而对应规则 f通常由依次执行的一系列运算来实现,而这一系列运算,常由一个表达式给出,这是微积分中最常见的函数形式。例如 X ={1,2,3,4,5} , Y ={a,b,c,d,e},定义域为 X,值域为{a,b,c}。 1234XY图 -2 5 de ebc 2 sin xxey?第一章第一章函数函数§ §1 1. 1 满射,单射,双射满射,单射,双射函数是一种对应规则,其中有三种特殊情况。区别这三种情况, 有助于我们理解反函数的概念。(1) (1) .满射。.满射。若?y?Y,?x?X, . y = f (x ) 称f : X?Y为满射。满射就是 Y中每一个元素都是“象”。这里“?”,读作“任意”,或“任给”;“?”读作“存在”;“ . ”读作“使得”。引进具有特定意义的符号,将使我们的表达更加简洁和准确。以后,我们会经常这样做。第一章第一章函数函数§ §1 1. 1 (2) (2) .单射。.单射。 -5 给出一个满射: 1234 abcXY图 -5 若?x 1,x 2?X,当x 1 ?x 2? f (x 1 ) ? f (x 2 ) 称 f : X?Y为单射。单射就是不同的元素,有不同的象。符号“?”读作“则”,或“那么”。 -6 给出一个单射: 1234 abcXY de图 -6 第一章第一章函数函数§ §1 1. 1 (3) (3) .双射。.双射。若 f : X?Y既是满射,又是单射,称 f为双射,或“一一对应”。 -7给出一个双射。: 1234 abcXY d图 -7 反函数反函数对于双射, f : X?Y,若将箭头反向,如图 -8,则给出由 Y到 X的函数,称为 f的反函数。 1234 abcXY d图 -8 1?f 第一章第一章函数函数§ §1 1. 1 定义定义 : : 设 f : X?Y为双射,定义映射 f –1 : Y?X 当 f (x ) = y时,有 f –1(y ) = x,称f –1为f的反函数,或叫逆映射。由反函数的定义,易见有下列重要恒等式: xxff??))(( 1Xx?yyff??))(( 1Yy?求 y= f (x)的反函数,只要将 x解出来。第一章第一章函数函数§ §1 1. 1 例如: y = 2 x + 1,反函数: 2 1?? yx y = e x,反函数: x = lny 当 f : X?Y不是双射,此时,常将 f限制在一个满足双射条件的范围内定义反函数。例如: y = x 2,看作(-?, + ?