(完整word版)全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导：第六讲不等式的应用、参数取值范围问题.docx

全国高中数学联赛金牌教练员讲座兰州一中数学组第六讲不等式的应用、参数取值范围问题知识、方法、(又称排序原理)设有两个有序数组a1a2 an及b1b2 anbn(同序和)a1bj1a2bj2 anbjn(乱序和)a1bna2bn1 anb1(逆序和)其中ji,j2,,jn是1,2,…, bn时等号(对任一排列jl,j2,,jn)成立•证明:不妨设在乱序和S中jnn时(若jnn,则考虑jn1),且在和S中含有项akbn(kn),则akbnanbjnanbjnanbn. ①事实上,左-右=(anak)(bnbjn) 0,由此可知,当jnn时,调换Sapi akbjk .(jnn)中g与jn位置(其余不动),所得新和SiS-调整好an及bn后,接着再仿上调整an1与bn1, anbnaibjia2bj2 anbjn ②这就证得“顺序和不小于乱序和” •显然,当aia2 an或bib? bn时②中等号成立仮之,若它们不全相等,则必存在 jn及k,使bnbjn,①中不等号成立•因而对这个排列②中不等号成立 .类似地可证“乱序和不小于逆序和”II•应用排序不等式可证明“平均不等式” :设有n个正数ai,a2,,an的算术平均数和几何平均数分别是An也上屯和Gn ,还有调和平均数(在光学及电路分析中要用到aia2 an和平方平均(在统计学及误差分析中用到)1~2 22亠13i32 3nQnV n其中等号成立的充分必要条件都是 a1a2an•下面首先证明算术平均数一几何平均数不等式:An Gn•ai32a1a2an记x1,Xn1 1y1 ,y2 ,x1 x2,yn1Xn由于数组X1,X2,,Xn和数组y1,y2, ,yn中对应的数互为倒数,由排序不等式得x*X2『1xnyn(逆序和)xyX2y1,XnYn1, X2xn或y1 y2 yn时成立,而这两者都可得到a1a2an・ ,一,a〔 a?1宀中, 应用GnanAn,得111a1a2an 1 1 1na1 a2 an即GnHn.(符号成立的条件是显然的)•最后证明An,Qn,它等价于n(ai2a2a;)(a1a2an)2 =22=(a1 a2) (a1 a2)***@1 an)222(a2a3) ***@an)(an1an)20,于是不等式及等号成立的条件都是显然的了 .从上述证明可见,AnQn对一切a1,a2,,•应用算术平均数一一几何平均数不等式,可用来证明下述重要不等式柯西(Cavchy)不等式:设a1、a2、a3,…,an是任意实数,则(a1b1a2b22/22anbn) (a1 a2anb(bi2b;bn).等号当且仅当bkaj(k为常数,i1,2, ,n)时成立•证明:不妨设ai(i1,2, ,n)不全为0,bi也不全为0(因为ai或bi全为0时,不等式显然成立).2a:,B=、b2b;b:.且令Xiai詈(i1,2,,n),则X122X22Xnd221,y1 y22y:1-于是原不等式成为Xiyix;y;(Xiyix;y;Xnyn) X1222Xny1 y2y•它等价于(Xi yi)2(X2y2)2 (Xnyn)•号成立的充要条件是 Xiyi(ii,2,,n)•从而原不等式成立,且等号成立的充要条件是bkai(kIV•利用排序不等式还可证明下述重要不等式切比雪夫不等式:若aia2an,bib2 bn,小 a-|b则1i a2b2 anbn aia2anbi b2 bnnnn证明:由题设和排序不等式,有aibi玄2匕2anbn=aibi a2b2 anbn,a1b1a?b2 anbn aR?a?b3anbi,aibia2b2 anbn ,两边同除以n2,•排序不等式的应用应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式,请看下述例题例1:对a,b,cR,2a的大小.【思路分析】要应用“排序不等式” ,必须取两组便于排序的数,这要从两式的结构上去分析.【略解】取两组数a,b,c;a2,b2, 3 3 2 2 2不管a,b,c的大小顺序如何,a都是乱序和故3 ,3 a.【评述】找出适当的两组数是解此类题目的关键 .2222例2:a,b,cR,求证abca一- —2c 2a22ca2b2abcb2ca2cab【思路分析】应先将a、b、c三个不失一般性地规定为【略