复数知识点归纳推荐文档.docx

精心整理复数【知识梳理】一、复数的基本概念1、 虚数单位的性质i叫做虚数单位,并规定:①i可与实数进行四则运算;②i2 1;这样方程x2 1就有解了,解为xi或xi2、 复数的概念定义:形如abi(a,b€R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,a叫做,b叫做。全体复数所成的集合C叫做复数集。复数通常用字母z表示,即zabi(a,b€R)对于复数的定义要注意以下几点:zabi(a,b€R)被称为复数的代数形式,其中bi表示b与虚数单位i相乘复数的实部和虚部都是实数,否则不是代数形式分类:满足条件(a,b为实数)复数的分类a+bi为实数?b=0a+bi为虚数?b丰0a+bi为纯虚数?a=0且bz0例题:当实数m为何值时,复数(m5m6)(m23m)i是实数?虚数?纯虚数?二、 复数相等也就是说,两个复数相等,充要条件是他们的实部和虚部分别相等注意:只有两个复数全是实数,才可以比较大小,否则无法比较大小例题:已知(xy3)(x4)i 0求x,y的值三、 共轭复数abi与cdi共轭ac,bd(a,b,c,dR)zabi的共轭复数记作zabi,且zza2b2四、 复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。页脚内容精心整理2、复数的几何意义复数zabi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量OZ(a,b)(a,bR)是一一对应关系(复数的实质是有序实数对,有序实数对既可以表示一个点,也可以表示一个平面向量)相等的向量表示同一个复数例题:(1)当实数m为何值时,复平面内表示复数z(m28m15)(m25m14)i的点①位于第三象限;②位于直线yx上复平面内AB(2,6),已知CD//AB,求CD对应的复数3、复数的模:向量0Z的模叫做复数zabi的模,记作|Z或|abi|,表示点(a,b)到原点的距离,即zabi|Va2b2,z若召abi,z2cdi,则忆z2|表示(a,b)到(c,d)的距离,即|z)z2|J(ac)2―(b—dp例题:已知z2i,求|z1i|的值五、复数的运算(1)运算法则:设Z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d€Rz,九 a bicdi(ac)(b d)i③互 (abi)Z2 (cdi)召 z2 (a bi)(cdi)(acbd) (bc ad)i(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i =(cdi)(cdi) c2d2(2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行 •如图给出的平行四边形0Z1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即=+,二一六、常用结论(1)i,i2 1,i3i,i4 1求in,只需将n除以4看余数是几就是i的几次例题:严(1 i)2 2i,(1i)22i),1 3、3 4 1 '33 .( i) 1,( i)12222【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X” )方程X2+x+1=0没有解.( )页脚内容⑵复数z=a+bi(a,b€R)中,虚部为bi.()⑶复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小 .( )原点是实轴与虚轴的交点.()复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模 .( )【考点自测】(2015安徽)设i是虚数单位,则复数(1—i)(1+2i)等于( )+3iB.—1++iD.—1+i(2015课标全国I)已知复数z满足(z—1)i=1+i,则z等于( )A.—2—iB.—2+—+i在复平面内,复数6+5i,—2+3i对应的点分别为A,,则点C对应的复数是()++++i已知a,b€R,i是虚数单位若a+i=2—bi,则(a+bi)2等于( )—+—+3i已知(1+2i)=4+3i,贝Uz= .【题型分析】题型一复数的概念例1 ⑴设i是虚数单位若复数z=a—(a€R)是纯虚数,则a的值为( )A.—3B.—⑵已知a€R,复数z1=2+ai,z2=1—2i,若为纯虚数,则复数的虚部为( )⑶若Z1=(m2+m+1)+(m2+m—4)i(m€R),Z2=3—2i,贝U“m=1”是“Z1=z2”的( )(1)中的复数z,若|z|=,⑵中,若为实数,则a= .思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项精心整理(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足