初中数学-巧添辅助线--解证几何题.docx

巧添辅助线解证几何题[引出问题]在几何证明或计算问题中,经常需要添加必要的辅助线,它的目的可以归纳为以下三点:一是通过添加辅助线,使图形的性质由隐蔽得以显现,从而利用有关性质去解题;二是通过添加辅助线,使分散的条件得以集中,从而利用它们的相互关系解题;三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。一、倍角问题研究∠α=2∠β或∠β=∠α问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形:1、∠α与∠β在两个三角形中,常作∠α的平分线,得∠1=∠α,然后证明∠1=∠β;或把∠β翻折,得∠2=2∠β,然后证明∠2=∠α(如图一)αβ图二∠α与∠β在同一个三角形中,这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构造等腰三角形的方法添加辅助线(如图二)2α1αβα图一CABD[例题解析]例1:如图1,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D。求证:∠DBC=∠:∠DBC、∠BAC所在的两个三角形有公共角∠C,可利用三角形内角和来沟通∠DBC、∠BAC和∠C的关系。ECABD证法一:∵在△ABC中,AB=AC,∴∠ABC=∠C=(180°-∠BAC)=90°-∠BAC。∵BD⊥AC于D∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°-∠BAC)=∠BAC即∠DBC=∠BAC分析二:∠DBC、∠BAC分别在直角三角形和等腰三角形中,由所证的结论“∠DBC=∠BAC”中含有角的倍、半关系,因此,可以做∠A的平分线,利用等腰三角形三线合一的性质,把∠A放在直角三角形中求解;也可以把∠DBC沿BD翻折构造2∠DBC求解。证法二:如图2,作AE⊥BC于E,则∠EAC+∠C=90°∵AB=AC∴∠EAG=∠BAC∵BD⊥AC于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC(同角的余角相等)即∠DBC=∠BAC。证法三:如图3,在AD上取一点E,使DE=CDECABD连接BE∵BD⊥AC∴BD是线段CE的垂直平分线∴BC=BE∴∠BEC=∠C∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C∵AB=AC∴∠ABC=∠C∴∠BAC=180°-2∠C∴∠EBC=∠BAC∴∠DBC=∠BAC说明:例1也可以取BC中点为E,连接DE,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解。同学们不妨试一试。ABACBA例2、如图4,在△ABC中,∠A=2∠B求证:BC2=AC2+ACAB分析:由BC2=AC2+ACAB=AC(AC+AB),启发我们构建两个相似的三角形,且含有边BC、AC、AC+∠A=2∠B知,构建以AB为腰的等腰三角形。证明:延长CA到D,使AD=AB,则∠D=∠DBA∵∠BAC是△ABD的一个外角∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D∵∠BAC=2∠ABC∴∠D=∠ABC又∵∠C=∠C∴△ABC∽△BDC∴∴BC2=ACCDAD=AB∴BC2=AC(AC+AB)=AC2+ACAB二、中点问题已知条件中含有线段的中点信息称为中点问题。这类问题常用三种方法添加辅助线延长中线至倍(或者倍长中线),如图一。若图形中没有明显的三角形的中线,也可以构造中线后,再倍长中线,如图二。构造中位线,如图三构造直角三角形斜边上的中线,如图四。图一图二图三图四[例题解析]:如图,△ABC中,AB=AC,